Tài liệu Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Phương trình. Hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 
a. Phương trình bậc hai một ẩn có dạng 2 0ax bx c+ + = ( )* trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số cho 
trước với ( )0a . 
Cách giải: 
+ Nếu 0c = , ta có phương trình: ( )2
0
0 0
x
ax bx x ax b b
x
a
= 
 + = + = 
 = −
+ Nếu 0b = , ta có phương trình: 2 20
c
ax c x
a
+ = = − 
 Khi 0
c
a
− thì 
c
x
a
= − 
 Khi 0
c
a
− thì phương trình vô nghiệm. 
+ Nếu 0; 0b c , biến đổi phương trình về dạng: ( )( ) 0
x
a x x
x
 

= 
− − = = 
b. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 
Để giải phương trình bậc hai: 2 0ax bx c+ + = ( )0a 
* Biệt thức Delta: 2 4b ac = − 
- Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
2
b
x
a
− + 
= ; 2
2
b
x
a
− − 
= 
- Nếu 0 = thì phương trình có nghiệm kép: 
1 2
2
b
x x
a
= = − ; 
* Lưu ý: nếu . 0a c (a, c trái dấu) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 
c. Công thức nghiệm thu gọn 
Phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = ( )0a và 2b b = 
Tính biệt thức: 2b ac = − 
Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1
b
x
a
 − + 
= ; 2
b
x
a
 − − 
= 
Nếu 0 = thì phương trình có nghiệm kép 
1 2
b
x x
a
= = − . 
Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. 
d. Hệ thức Viet và ứng dụng 
+ Định lý Viet: nếu 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình: 
2 0ax bx c+ + = ( )0a thì tổng và tích của 
hai nghiệm là: 
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = − 
 = =
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: 
2 0X SX P− + = . (Điều kiện để có hai số đó là: 2 4 0S P− ). 
e. Cách nhẩm nghiệm của phương trình: 
+ Nếu 0a b c+ + = thì phương trình có nghiệm 1 1x = , 2
c
x
a
= . 
+ Nếu 0a b c− + = thì phương trình có nghiệm 1 1x = − , 2
c
x
a
= − . 
+ Nếu nhẩm được: 1 2x x m n+ = + ; 1 2x x mn= thì phương trình có nghiệm 1x m= , 2x n= . 
f. Phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = ( )0a 
1. Phương trình vô nghiệm 
0
0
a b
c
= = 
 hoặc 
0
0
a 
2. Phương trình có nghiệm kép 
0
0
a 
 = 
3. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
0
0
a 
4. Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu . 0a c 
5. Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu 
0
0
0
a
P
6. Phương trình có 2 nghiệm dương 
0
0
0
0
a
P
S
7. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương 
0
0
0
0
a
P
S
8. Phương trình có 2 nghiệm âm 
0
0
0
0
a
P
S
9. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương 
0
0
0
0
a
P
S
10. Phương trình có 2 nghiệm đối nhau 
0
0
0
0
a
P
S
 = 
11. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 
( )
1 2
0
0
. 0
a
x x
a f
12. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa ( )1 2
0
0
. 0
2
a
x x a f
S
13. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả ( )1 2
0
0
. 0
2
a
x x a f
S
g. Các biểu thức thường gặp trong việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số ( )0 : 
• ( )
22 2 2
1 2 1 2 1 22 2x x x x x x S p+ = + − = − 
• ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 24 4x x x x x x S p− = + − = − 
• ( ) ( )
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 23 3x x x x x x x x S Sp+ = + − + = − 
• ( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2 2x x x x x x S p p+ = + − = − − 
• 1 2
1 2 1 2
1 1 x x S
x x x x p
+
+ = = 
• 
2 2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2x x x x S p
x x x x p
+ −
+ = = 
Đây là một số biểu thức căn bản nhất, thường xuất hiện trong các bài toán phương trình bậc hai có thức 
tham số, nằm trong cấu trúc đề thi vào 10. Do đó, các em cần nắm vững những kiến thức này, để có thể 
vận dụng thuần thục, giúp biến đổi các loại biểu thức khác để giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn. 
2. CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Phương trình bậc hai không có tham số 
1. Phương trình bậc hai ( )0a dạng khuyết hạng tử bậc nhất ( )0b = , ta có phương trình: 
2 20
c
ax c x
a
+ = = − 
Khi 0
c
a
− thì 
c
x
a
= − 
Khi 0
c
a
− thì phương trình vô nghiệm. 
2. Phương trình bậc hai dạng khuyết hạng tử tự do ( )0c = , ta có phương trình: 
( )2
0
0 0
x
ax bx x ax b b
x
a
= 
 + = + = 
 = −
3. Phương trình bậc hai có đầy đủ các hạng tử ( )0; 0b c : 
Ta biến đổi phương trình về dạng: ( )( ) 0
x
a x x
x
 

= 
− − = = 
Ví dụ minh hoạ 1: Chỉ ra các hệ số a, b, c trong mỗi phương trình, sau đó giải phương trình: 
a. 23 5 0x x+ = b. 2 16 0x − = 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 23 5 0x x+ = , có hệ số 3;a = 5b = và 0c = . 
( )2
0
0
3 5 0 3 5 0 5
3 5 0
3
x
x
x x x x
x x
= 
= + = + = + = = − 
Vậy, phương trình có hai nghiệm: 0x = ; 
5
3
x = − . 
b. Phương trình 2 16 0x − = , có hệ số 1;a = 0b = và 16c = − . 
2 16 0 4x x− = = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm: 4x = − ; 4x = . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng 2 0ax bx c+ + = ( )0a . Rồi chỉ ra các hệ số a, b, c? 
a. 23 3 5 5 1x x x+ + = + b. 2
3 1
4 3 3
4 3
− − = +x x x 
c. 25 1 5 3x x x− + − = + d. ( )2 23 2 8 1x k x k− − − = − 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
a. 2 5 0x x− = b. 22 32 0x − = 
c. 23 4 0x + = d. 
22 2 0x x+ = 
Bài 3: Đưa các phương trình sau bằng cách chuyển về dạng ( )
2
f x m= với m là hằng số: 
a. 2 10 9 0x x− + = b. 2 2 3 0x x+ − = 
c. 2 2 7 0x x+ + = d. 24 7 3 0x x− + = 
Hướng dẫn giải: 
Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng 2 0ax bx c+ + = ( )0a . Rồi chỉ ra các hệ số a, b, c? 
a. Phương trình 2 23 3 5 5 1 3 2 4 0x x x x x+ + = + − + = có hệ số 3a = ; 2b = − ; 4c = . 
b. Phương trình 2 2
3 1 3 10
4 3 3 7 0
4 3 4 3
− − = + − − =x x x x x có hệ số 
3
4
a = ; 7b = − ; 
10
3
c = − . 
c. Phương trình ( )2 25 1 5 3 5 1 5 4 0x x x x x− + − = + − + − − = có hệ số 5a = − ; 1 5b = − ; 
4c = − . 
d. Phương trình ( ) ( )2 2 2 23 2 8 1 3 2 9 0x k x k x k x k− − − = − − − + − = có hệ số 1;a = 2b k= − ; 
2 9c k= − . 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
a. Phương trình ( )2
0
5 0 5 0
5
x
x x x x
x
= 
− = − = = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm: 0x = , 5x = . 
b. Phương trình ( )2
0
2 32 0 2 16 0
16
x
x x x
x
= 
− = − = = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm: 0x = , 16x = . 
c. Phương trình 2 23 4 0 3 4x x+ = = − 
23 0VT x= với mọi x, 4 0VP = − . Do đó, phương trình 23 4x = − vô nghiệm. 
d. Phương trình ( )2
0
2 2 0 2 2 1 0 1
2
x
x x x x
x
= 
 + = + = 
 = −
Vậy, phương trình có hai nghiệm: 0x = , 
1
2
x = − . 
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách chuyển về dạng: ( )
2
f x m= với m là hằng số: 
a. Phương trình 2 210 9 0 10 25 16 0x x x x− + = − + − = 
( ) ( )
2 22 210 25 16 5 16 5 4x x x x − + = − = − = 
5 4 9
5 4 1
x x
x x
− = = 
 − = − = 
Vậy, nghiệm của phương trình là 1x = , 9x = . 
b. Phương trình 2 22 3 0 2 1 4 0x x x x+ − = + + − = 
( ) ( )
2 22 22 1 4 0 1 4 1 2 + + − = + = + =x x x x 
1 2 1
1 2 3
x x
x x
+ = = 
 + = − = − 
Vậy, nghiệm của phương trình là 1x = , 3x = − . 
c. Phương trình 2 22 7 0 2 1 6 0x x x x+ + = + + + = 
( )
22 2 1 6 1 6x x x + + = − + = − không có giá trị x thoả mãn. 
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
d. Phương trình 2 2
49 1
4 7 3 0 4 7 0
16 16
x x x x− + = − + − = 
2 2 2
2 49 1 7 1 7 14 7 2 2
16 16 4 16 4 4
x x x x
 − + = − = − = 
7 1
2 2 12
4 4
3 3
7 1 2
2 2 4
4 4
x xx
x x
x
= =− = 
 = = − = − 
Vậy, nghiệm của phương trình là 1x = , 
3
4
x = . 
 Dạng 2. Giải phương trình bằng công thức nghiệm 
1. Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm: 
Để giải phương trình bậc hai: 2 0ax bx c+ + = ( )0a 
* Biệt thức Delta: 2 4b ac = − 
- Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
2
b
x
a
− + 
= ; 2
2
b
x
a
− − 
= 
- Nếu 0 = thì phương trình có nghiệm kép: 
1 2
2
b
x x
a
= = − ; 
- Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. 
* Lưu ý: nếu . 0a c (a, c trái dấu) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 
2. Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn 
Phương trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = ( )0a và 2b b = 
Tính biệt thức: 2b ac = − 
Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1
' − + 
=
b
x
a
; 2
' − − 
=
b
x
a
Nếu 0 = thì phương trình có nghiệm kép 
1 2
b
x x
a
= = − . 
Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ minh hoạ 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, rồi tính biệt thức delta ( ) 
và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau: 
a. 23 5 2 0x x+ + = b. 2 5 9 0x x− + = 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 23 5 2 0x x+ + = , có hệ số 3a = ; 5b = và 2c = . 
2 24 5 4.3.2 25 24 1 0b ac = − = − = − = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b. Phương trình 2 5 9 0x x− + = , có hệ số 1a = ; 5b = − và 9c = . 
( )
22 4 5 4.1.9 25 36 11 0b ac = − = − − = − = − 
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ minh hoạ 2: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm. 
a. 23 5 8 0x x− + = b. 25 3 2 0x x− − = 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 23 5 8 0x x− + = , có hệ số 3a = ; 5b = − và 8c = . 
( )
22 4 5 4.3.8 25 96 71 0b ac = − = − − = − = − 
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
b. Phương trình 25 3 2 0x x− − = , có hệ số 5a = ; 3b = − và 2c = − . 
( ) ( )
22 4 3 4.5. 2 9 40 49 0 7b ac = − = − − − = + = = 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( )
1
3 7 2
2 2.5 5
b
x
a
− − −− − 
= = = − ; 
( )
2
3 7
1
2 2.5
b
x
a
− − +− + 
= = = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
2
5
x = − ; 2 1x = . 
Ví dụ minh hoạ 3: Với giá trị nào của m thì: 
a. Phương trình ( )23 1 5 0x m x+ + + = có nghiệm 1x = . 
b. Phương trình 2 4 3 0mx x− − = có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó. 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình ( )23 1 5 0x m x+ + + = có nghiệm 1x = 
Thay 1x = vào phương trình đã cho: 
( )23.1 1 .1 5 0 3 1 5 0 9 0 9m m m m+ + + = + + + = + = =− 
Vậy, với 9m = − thì phương trình có nghiệm 1x = . 
b. Phương trình 2 4 3 0mx x− − = . 
Với hệ số a m= , ( ) ( )
2
4 4. . 3 16 12m m = − − − = + . 
Để phương trình có nghiệm kép 
0
0
a 
 = 
0
0 4
4
16 12 0 3
3
m
m
m
m m
 = − 
+ = = − 
Với 
4
3
m = − thì phương trình có nghiệm kép, và 
( ) ( )
1 2
4 4 3
42 2. 2
2.
3
b
x x
a m
− −
= = − = − = − = −
− 
Ví dụ minh hoạ 4: Chứng minh phương trình 2 0ax bx c+ + = ( )0a luôn có hai nghiệm phân biệt nếu 
a, c trái dấu. 
Áp dụng: Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có mấy nghiệm: 
a. ( ) 21 2 2 3 0x x+ − − = 
b. 2 25 3 1 0x mx m− − − = . 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 2 0ax bx c+ + = ( )0a có 2 4b ac = − . 
Khi a, c trái dấu thì 0ac , suy ra 0ac− , do đó 4 0ac− . 
Mặt khác: 2 0b với mọi b. 
Vì vậy, 2 4 0b ac = − . 
Vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nếu a, c trái dấu. Điều này cũng đúng khi chứng minh 
với ( ) . 
Áp dụng: 
a. Phương trình ( ) 21 2 2 3 0x x+ − − = có hệ số 1 2 0a = + , hệ số 3 0c = − . 
Do đó, a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b. Phương trình 2 25 3 1 0x mx m− − − = có hệ số 5 0a = , hệ số 21 0c m= − − với mọi m. 
Do đó, a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Ví dụ minh họa 5: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn. 
a. 23 5 8 0x x− + = b. 25 3 2 0x x− − = 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 23 5 8 0x x− + = , có hệ số 3a = ; 
5
5
2
b b = − = − và 8c = . 
( )
2
2 5 25 71
.3.8 24 0
2 4 4
b ac
 = − = − − = − = − 
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
b. Phương trình 25 3 2 0x x− − = , có hệ số 5a = ; 
3
3
2
b b = − = − và 2c = − . 
( ) ( )
2
2 3 9 49 7
.5. 2 10 0
2 4 4 2
b ac
 = − = − − − = + = = 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
3 7
22 2
5 5
b
x
a
− − − − − = = = − ; 2
3 7
2 2
1
5
b
x
a
− − + − + = = = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
2
5
x = − ; 2 1x = . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c của phương trình. Tính biệt thức delta a 
và cho biết số nghiệm của phương trình: 
a. 2 5 1 0x x− + = b. 22 9 10 0x x− + = 
c. 22 7 3 0x x+ + = d. 2 6 9 0x x− + − = 
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm:. 
a. 2 8 17 0x x− + = b. 2
1
5 3 0
2
x x− − = 
c. 2 5 1 0x x− + − = d. 25 3 2 0x x+ − = 
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm: 
a. 
23 2 3 2 0x x+ − + = b. 2
5
5 5 2 0
2
x x− + = 
c. ( )2 1 3 3 0x x− − − = d. ( )2 3 2 6 0x x− − − = 
Bài 4: Với giá trị nào của k thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó. 
a. 2 10 2 0x x k− + + = b. 2 3 0x kx+ − = 
c. 2 2 7 0x kx k+ + − = d. ( )2 1 1 0x k x− + − = 
Hướng dẫn giải:: 
Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c của phương trình. Tính biệt thức delta A 
và cho biết số nghiệm của phương trình: 
a. Phương trình 2 5 1 0x x− + = có hệ số 1a = ; 5b = − và 1c = . 
( )
2
5 4.1.1 25 4 21 0 = − − = − = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b. Phương trình 22 9 10 0x x− + = có hệ số 2a = ; 9b = − và 10c = . 
( )
2
9 4.2.10 81 80 1 0 = − − = − = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
c. Phương trình 22 7 3 0x x+ + = có hệ số 2a = ; 7b = và 3c = . 
( )
2
7 4.2.3 49 24 25 0 = − = − = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
d. Phương trình 2 6 9 0x x− + − = có hệ số 1a = − ; 6b = và 9c = − . 
( ) ( ) ( )
2
6 4. 1 . 9 36 36 0 = − − − = − = 
Vậy, phương trình có nghiệm kép. 
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm: 
a. Phương trình 2 8 17 0x x− + = , có hệ số 1a = ; 8b = − và 17c = . 
( )
2
8 4.1.17 64 68 4 0 = − − = − = − 
Vậy, phương trình vô nghiệm. 
b. Phương trình 2
1
5 3 0
2
x x− − = , có hệ số 
1
2
a = ; 5b = − và 3c = − . 
( ) ( )
2 1
5 4. . 3 25 6 31 0 31
2
 = − − − = + = = 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1
5 31
5 31
1
2.
2
x
−
= = − và 2
5 31
5 31
1
2.
2
x
+
= = + 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1 5 31x = − ; 2 5 31x = + 
c. Phương trình 2 5 1 0x x− + − = , có hệ số 1a = − ; 5b = và 1c = − . 
( ) ( ) ( )
2
5 4. 1 . 1 5 4 1 0 1 = − − − = − = = 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( )
( )1
5 1 5 1
2. 1 2
x
− − +
= =
−
; 
( )
( )2
5 1 5 1
2. 1 2
x
− + −
= =
−
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1
5 1
2
x
+
= ; 2
5 1
2
x
−
= 
d. Phương trình 25 3 2 0x x+ − = , có hệ số 5a = ; 3b = và 2c = − . 
( ) ( )
2
3 4.5. 2 3 40 43 0 43 = − − = + = = 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( )
1
3 43 3 43
2.5 10
x
− − − −
= = ; 
( )
2
3 43 3 43
2.5 10
x
− + − +
= = 
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1
3 43
10
x
− −
= ; 2
3 43
10
x
− +
= 
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm: 
a. Phương trình 23 2 3 2 0x x+ − + = có 
( ) ( ) ( )
2 2
2 4.3. 3 2 2 36 12 2 6 2 0 = − − + = + − = − 
6 2 = − 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( ) ( )
1
2 6 2 6
1
2.3 6
x
− − − −
= = = − ; 
( ) ( )
2
2 6 2 6 2 2 3 2
2.3 6 3
x
− + − − −
= = = 
Vậy, nghiệm của phương trình là 1 1x = − và 2
3 2
3
x
−
= 
b. Phương trình 2
5
5 5 2 0
2
x x− + = có 
( )
2 5
5 2 4.5. 50 50 0
2
 = − − = − = 
Phương trình có nghiệm kép: 
( )
1 2
5 2 2
2.5 2
x x
− −
= = = 
Vậy, nghiệm của phương trình là: 1 2
2
2
x x= = 
c. Phương trình ( )2 1 3 3 0x x− − − = có: 
( ) ( )
2
1 3 4.1. 3 4 2 3 4 3 4 2 3 0 = − − − − = − + = + 
( )
2
4 2 3 1 3 1 3 = + = + = + 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( ) ( )
1
1 3 1 3 2 3
3
2.1 2
x
 − − − + − = = = − ; 
( ) ( )
2
1 3 1 3 2
1
2.1 2
x
 − − + +
 = = = 
Vậy, nghiệm của phương trình là 
1 3x = − và 2 1x = 
d. Phương trình ( )2 3 2 6 0x x− − − = có: 
( ) ( )
2
3 2 4.1. 6 5 2 6 4 6 5 2 6 0 = − − − − = − + = + 
( )
2
5 2 6 3 2 3 2 = + = + = + 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
( ) ( )
1
3 2 3 2 2 2
2
2.1 2
 − − − − + − = = = −x ; 
( ) ( )
2
3 2 3 2 2 3
3
2.1 2
 − − − + +
 = = =x 
Vậy, nghiệm của phương trình là 
1 2x = − và 2 3x = 
Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm kép 
a. Phương trình 2 10 2 0x x k− + + = có: 
( ) ( )
2
10 4.1. 2 100 4 8 92 4k k k = − − + = − − = − 
Phương trình có nghiệm kép 0 92 4 0 23k k = − = = 
Vậy, với 23k = thì phương trình có nghiệm kép 1 2 5x x= = 
b. Phương trình 2 3 0x kx+ − = có: 
( )2 24.1. 3 12 0k k = − − = + với mọi k. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy, không có giá trị k thoả mãn điều kiện bài toán. 
c. Phương trình 2 2 7 0x kx k+ + − = có: 
( ) ( )
2 22 4.1. 7 4 4 28k k k k = − − = + − 
Phương trình có nghiệm kép ( )20 4 4 28 0 *k k = + − = 
Giải phương trình ( )24 4 28 0 *k k+ − = ta được 
1 29
2
k
− −
= ; 
1 29
2
k
− +
= 
Vậy, với 
1 29
2
k
− −
= thì phương trình có nghiệm kép 1 2
1 29
2
x x
+
= = 
với 
1 29
2
k
− +
= thì phương trình có nghiệm kép 1 2
1 29
2
x x
−
= = 
d. Phương trình ( )2 1 1 0x k x− + − = có: 
( ) ( ) ( )
2 2
1 4.1. 1 1 4 0k k = − + − − = + + với mọi k. 
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. 
Vậy, không có giá trị k thoả mãn yêu cầu bài toán. 
Dạng 3: Ứng dụng hệ thức Viét 
1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số 
+ Định lý Viet: nếu 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình: 
2 0ax bx c+ + = ( )0a thì tổng và tích của 
hai nghiệm là: 
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = − 
 = =
2. Giải phương trình bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm 
Phương trình 2 0ax bx c+ + = có các hệ số thoả mãn: 
+ Trường hợp: 0a b c+ + = thì phương trình có nghiệm 1 1x = , 2
c
x
a
= . 
+ Trường hợp: 0a b c− + = thì phương trình có nghiệm 1 1x = − , 2
c
x
a
= − . 
3. Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 1x ; 2x của phương trình 
Để làm dạng toán này các em cần nhớ một số biểu thức sau: 
• ( )
22 2 2
1 2 1 2 1 22 2x x x x x x S p+ = + − = − 
• ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 24 4x x x x x x S p− = + − = − 
• ( ) ( )
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 23 3x x x x x x x x S Sp+ = + − + = − 
• ( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2 2x x x x x x S p p+ = + − = − − 
• 1 2
1 2 1 2
1 1 x x S
x x x x p
+
+ = = 
• 
2 2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2x x x x S p
x x x x p
+ −
+ = = 
4. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm phương trình: 
Nếu u và v là hai số cần tìm có 
.
u v S
u v P
+ = 
= 
 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình 
2 0X SX P− + = 
(Điều kiện để có hai số đó là 2 4 0S P− ) 
Ví dụ minh hoạ 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm của 
mỗi phương trình sau: 
a. 23 11 4 0x x− + = b. 2 3 7 2 3 0x x− + = 
Hướng dẫn giải: 
a. Phương trình 23 11 4 0x x− + = có ( )
2
11 4.3.4 121 48 73 0 = − − = − = . 
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x . 
Theo hệ thức VI ét ta có: 
1 2
11
3
x x+ = ; 1 2
4
.
3
x x = . 
b. Phương trình 2 3 7 2 3 0x x− + = có ( )
2
3 7 4.1.2 3 63 8 3 0 = − − = − . 
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x . 
Theo hệ thức vi ét ta có: 
1 2 3 7x x+ = ; 1 2. 2 3x x = . 
Ví dụ minh hoạ 2: 
a. Chứng tỏ rằng phương trình 27 3 54 0x x− − = có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại. 
b. Cho phương trình 2 24 3 5 0x x m+ + − = . Biết phương trình có nghiệm 1x = − , hãy dùng hệ thức Vi ét 
để tìm nghiệm còn lại của phương trình, từ đó tính giá trị của m. 
Hướng dẫn giải: 
a. Thay 1 3x = vào phương trình 
27 3 54 0x x− − = được: 
( )27(3) 3 3 54 63 9 54 0− − = − − = nên 1 3x = là một nghiệm của phương trình. 
Theo định lý Vi ét, ta có: 
1 2 2 2
3 3 3 18
3 3
7 7 7 7
x x x x+ = + = = − = − . 
b. Phương trình 2 24 3 5 0x x m+ + − = có nghiệm 1x = − . 
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có: 
1 2
3
4
x x+ = − 
2 2
3 3 1
1 1
4 4 4
x x − + = − = − + = 
Cũng theo hệ thức Vi ét: 
2
1 2
5
4
m
x x
−
= 
( )
2
2 21 5. 1 1 5 4 2
4 4
m
m m m
−
 − = − = − = = 
Vậy, với 2m = hoặc 2m = − thì phương trình đã cho có nghiệm 1x = − 
Ví dụ minh hoạ 3: Cho phương trình: 23 5 6 0x x+ − = có nghiệm 1x ; 2x . 
Không tính giá trị của 1x ; 2x , hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là u và v. 
Biết 1
2
1
u x
x
= + và 2
1
1
v x
x
= + . 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình: 23 5 6 0x x+ − = có hệ số 3 0a = ; 6 0c = − . Do đó tích . 0a c nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt. 
Theo Định lý vi ét, ta có: 
1 2
5
3
x x+ = − và 1 2 2x x = − . Khi đó: 
( )
( )
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
1 2
1 2
1 1
1 1
5 5 5
3 6 6
u v x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ = + + +
= + + + 
 +
= + + 
= − + = −
 và 
1 2
2 1
1 2
1 2
1 1
1
2
1
2 2
2
1
2
uv x x
x x
x x
x x
= + + 
= + +
= − + +
−
= −
Vậy, u và v là nghiệm của phương trình: 2
5 1
0
6 2
X X+ − = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Không giải phương trình, hãy dùng hệ thức Vi ét, tính tổng và tích các nghiệm của các phương 
trình sau: 
a. 22 5 3 0x x+ + = b. 23 11 4 0x x− + = 
c. ( )2 2 1 3 3 0x x+ + + = d. ( ) 27 3 2 7 3 0x x− + + + = 
Bài 2: Dùng điều kiện 0a b c+ + = , hoặc 0a b c− + = để nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: 
a. 23 4 1 0x x− + = b. 24 3 7 0x x− − + = 
c. ( )2 1 5 5 0x x+ + + = d. ( )23 3 5 5 0x x− + + = 
e. ( ) 23 2 2 3 3 2 0x x− + + + = f. ( ) 25 2 10 5 2 0x x− − + + = 
Bài 3: 
a. Cho phương trình 22 5 2 0x x+ + = . Biết phương trình có một nghiệm 2x = − . Sử dụng định lý Vi ét 
để tìm nghiệm còn lại. 
b. Cho phương trình 23 5 12 0x x− + + = . Chứng tỏ phương trình có một nghiệm 3x = . Sử dụng định lý 
Vi ét để tìm nghiệm còn lại. 
Bài 4: Hãy sử dụng hệ thức Vi ét để tìm nghiệm còn lại và tham số m trong mỗi phương trình sau: 
a. Phương trình 23 10 3 1 0x x m− + + = , biết phương trình có nghiệm 
1
7
3
x = 
b. Phương trình 24 2 3 0x x m− + − = , biết phương trình có nghiệm 1 3x = . 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1: 
a. Phương trình 22 5 3 0x x+ + = có 25 4.2.3 25 24 1 0 = − = − = . Phương trình có hai nghiệm phân 
biệt: 
1 2
5
2
x x+ = − ; 1 2
3
2
x x = . 
b. Phương trình 23 11 4 0x x− + = có 211 4.3.4 121 48 73 0 = − = − = . 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
1 2
11
3
x x+ = ; 1 2
4
3
x x = . 
c. Phương trình ( )2 2 1 3 3 0x x+ + + = có 
( )
2
1 3 3 4 2 3 3 4 3 0 = + − = + − = + . 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( )1 2 2 1 3x x+ = − + ; 1 2 3x x = . 
d. Phương trình ( ) 27 3 2 7 3 0x x− + + + = có 
( ) ( ) ( )22 4. 7 3 . 7 3 4 4 7 3 12 0 = − − + = − − = − . 
Phương trình vô nghiệm. 
Bài 2: Dùng điều kiện 0a b c+ + = , hoặc 0a b c− + = để nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: 
a. Phương trình 23 4 1 0x x− + = có ( )3 4 1 0a b c+ + = + − + = . Nên có nghiệm 1x = và 
1
3
x = 
b. Phương trình 24 3 7 0x x− − + = có ( ) ( )4 3 7 0a b c+ + = − + − + = . Nên có nghiệm 1x = và 
7
4
x = − . 
c. Phương trình ( )2 1 5 5 0x x+ + + = có ( )1 1 5 5 0− + = − + + =a b c . Nên có nghiệm 1x = − và 
5x = . 
d. Phương trình ( )23 3 5 5 0x x− + + = có ( )3 3 5 5 0a b c+ + = − + + = . Nên có nghiệm 1x = và 
5
3
x = . 
e. Phương trình ( ) 23 2 2 3 3 2 0x x− + + + = có 3 2 2 3 3 2 0a b c− + = − − + + = . Nên có 
nghiệm 1x = − và 
3 2
3 2
x
+
=
−
. 
f. Phương trình ( ) 25 2 10 5 2 0x x− − + + = có ( )5 2 10 5 2 0a b c+ + = − + − + + = . Nên có nghiệm 
1x = và 
5 2
5 2
x
+
=
−
Bài 3: 
a. Cho phương trình 22 5 2 0x x+ + = . Biết phương trình có một nghiệm 2x = − . 
Áp dụng định lý Vi ét ta có: 
1 2 2 2
5 5 1
2
2 2 2
x x x x+ = − − + = − = − 
b. Cho phương trình 23 5 12 0x x− + + = . Chứng tỏ phương trình có một nghiệm 3x = . 
Áp dụng định lý Vi ét ta có: 
1 2 2 2
5 5 1
2
2 2 2
x x x x+ = − − + = − = − 
Bài 4: 
a. Phương trình 23 10 3 1 0x x m− + + = .Phương trình có nghiệm 
1
7
3
x = 
Áp dụng định lý Vi ét ta có: 
1 2 2 2
10 7 10
1
3 3 3
x x x x+ = + = = 
Khi đó, 
1 2
3 1 7 3 1
3 1 7 2
3 3 3
m m
x x m m
+ +
= = + = = 
Vậy, với 2m = thì phương trình có nghiệm 
1
7
3
x = và nghiệm còn lại 2 1x = . 
b. Phương trình 24 2 3 0x x m− + − = , biết phương trình có nghiệm 1 3x = . 
Áp dụng định lý Vi ét ta có: 
1 2 2 2
1 1 5
3
2 2 2
x x x x+ = + = = − 
Khi đó, 
1 2
3 15 3
3 30 27
4 2 4
m m
x x m m
− −
= − = − = = − 
Vậy, với 27m= − thì phương trình có nghiệm 1 3x = và nghiệm còn lại 2
5
2
x = − . 
Dạng 4. Giải và biện luận phương trình bậc hai có chứa tham số 
Cho phương trình bậc hai có chứa tham số, thường là tham số m có dạng: ( ), 0.f x m = 
1. Giải phương trình khi biết giá trị của tham số 
Phương pháp: Thay giá trị m vào phương trình để tìm nghiệm. 
2. Tìm tham số khi biết nghiệm 0x của phương trình 
+ Thay 0x vào phương trình, ta tìm được giá trị m. 
+ Kiểm tra xem giá trị m có thoả mãn điều kiện bài toán không. Nếu thoả mãn, ta kết luận đó là 
giá trị m cần tìm. 
3. Tìm tham số m để phương trình bậc hai 
+ Trong bài toán tìm tham số m để phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện về số nghiệm, mối 
quan hệ giữa các nghiệm,... 
Ta cần phân tích yêu cầu bài toán đế xác định đúng các điều kiện cần thiết. Nếu tham số m có mặt 
ở hệ số a, ta cần phải chú ý điều kiện tương ứng của nó. 
Các dạng toán thường gặp khi có tham số là tìm m để phương trình: 
Phương trình vô nghiệm 
0
0
a b
c
= = 
 hoặc 
0
0
a 
 = 
Phương trình có nghiệm kép 
0
0
a 
 = 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
0
0
a 
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
. 0a c 
Phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dấu 
0
0
0
a
P
Phương trình có 2 nghiệm dương 
0
0
0
0
a
P
S
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương 
0
0
0
0
a
P
S
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương 
0
0
0
0
a
P
S
Phương trình có 2 nghiệm âm 
0
0
0
0
a
P
S
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt âm 
0
0
0
0
a
P
S
Phương trình có 2 nghiệm đối nhau Phương trình có 2 nghiệm đối nhau 
0
0
0
0
a
P
S
 = 
0
0
0
0
a
P
S
 = 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 
( )
1 2
0
0
. 0
a
x x
a f
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 
( )1 2
0
0
. 0
2
a
x x a f
S
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 
( )1 2
0
0
. 0
2
a
x x a f
S
Phương trình có 1 nghiệm: có 2 TH 
+ Phương trình có một nghiệm duy nhất 
0
0
a
b
= 
+ PT có nghiêm kép 
0
0
a 
 = 
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số. 
Phương pháp: Biểu thức liên hệ không phụ thuộc m là biểu thức không có chứa tham số m. Áp dụng 
hệ thức Vi ét gồm tổng và tích của hai nghiệm. Biểu diễn tham số m theo các nghiệm (rút m). 
Ví dụ minh hoạ 1: Cho phương trình: ( )2 2 3 0m xx m− + + = 
a. Giải phương trình với m = 2 
b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
c. Viết hệ thức liên hệ giữa 1 2x ; x mà không phụ thuộc vào m. 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình : ( )2 2 3 0m xx m− + + = (1) 
a. Với m = 2, phương trình (1): 2 7 2 0x x− + = 
( )
2
7 4.1.2 41 0− − == , nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 
1 2
7 41 7 41
; .
2 2
x x
+ −
= = 
b. Phương trình : ( )2 2 3 0m xx m− + + = (1) có 
( )
2 22 3 4.1. 4 12 9 4m m m m m = + − = + + − 
2 24 8 9 4 8 4 5m m m m= + + = + + + 
( )
2
2 2 5 0m= + + với mọi m. 
Vậy, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
c. Theo câu b. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
Nên áp dụng hệ thức Vi ét ta có: 
1 2
1 2
2 3x x m
x x m
+ = + 
= 
Thay 1 2m x x= vào 1 2 1 22 3x x x x+ = + (*) 
Vậy, biểu thức liên hệ giữa 1 2;x x không phụ thuộc m là 1 2 1 22 3x x x x+ = + (*). 
Ví dụ minh hoạ 2: Cho phương trình : ( )2 2 1 5 0mx m x m− + + − = 
a. Xác định m để phương trình có một nghiệm duy nhất. 
b. Xác định m để phương trình có một nghiệm. 
c. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức ( )( )1 21 1 3x x+ + = 
Hướng dẫn giải: 
Phương trình : ( )2 2 1 5 0mx m x m− + + − = 
a. Để phương trình có một nghiệm duy nhất 
( )
00 0
0
2 1 00 1
ma m
m
mb m
= = = 
 = 
− + − 
Vậy, với 0m = thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất. 
b. Để phương trình có một nghiệm 
TH1: 
( )
00 0
0
2 1 00 1
ma m
m
mb m
= = = 
 = 
− + − 
TH2: 
( ) ( )
2 2 2
0 00
' 0 2 1 5 01 5 0
m ma
m m m mm m m
 = + + − + =+ − − = 
0
0 1
1
7 1 0 7
7
m
m
m
m m
 = − 
+ = = − 
Vậy, khi 0m = hoặc 
1
7
m = − thì phương trình có một nghiệm. 
c. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức ( )( )1 21 1 3x x+ + = 
Để phương trình có nghiệm 1 2;x x thì 
0
' 0
a 
( ) ( )
2 2 2
0 00
' 0 2 1 5 01 5 0
m ma
m m m mm m m
 + + − + + − − 
0
0
.1
7 1 0
7
m
m
m m
+ − 
Khi đó phương trình có hai nghiệm 1 2;x x : 
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có: 
1 2
1 2
2 1
5
m
x x
m
m
x x
m
+ 
+ = 
− =
Theo đề ra: ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 3 1 3 2x x x x x x x x x x+ + = + + + = + + = 
5 2 1 3 4
2 2 3 4 2 4
m m m
m m m
m m m
− + −
 + = = − = = (thoả điều kiện) 
Kết luận: Vậy với 4m = thì phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện bài toán. 
Lưu ý: 
Ở câu này, học sinh chú ý, do mức độ phong phú của Tiếng Việt nên gặp đề yêu cầu phương trình có 
MỘT NGHIỆM (hoặc MỘT NGHIỆM DUY NHẤT) thì các em cần phân hiệt chính xác. 
Nếu đề yêu cầu phương trình có 1 nghiệm thì sẽ có hai trường hợp thoả mãn là: 
Phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
0
0
a
b
= 
 hoặc phương trình có nghiệm kép 
0
0
a 
 = 
Nếu đề yêu cầu phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì chỉ có trường hợp 
0
0
a
b
= 
 là đúng. Nếu đề 
yêu cầu phương trình có nghiệm kép thì 
0
0
a 
 = 
. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho phương trình: 2 2 4 4 0.x mx m− + − = 
a. Tìm m để phương trình có hai nghiêm thỏa mãn 1 2
2 1
1 1 13
4
x x
x x
+ +
+ = 
b. Viết hệ thức liên hệ giữa 1x ; 2x mà không phụ thuộc vào tham số m. 
Bài 2: Cho phương trình : 2 5 2 1 0x x m− + − = 
a. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 
b. Tìm m để 1 2
2 1
19
3
x x
x x
+ = 
Bài 3: Cho phương trình: ( )2 2 1 2 10 0x m x m− + + + = 
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
b. Tìm GTNN của biểu thức 2 21 2 1 210A x x x x= + + 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1.Phương trình: 2 2 4 4 0.x mx m− + − = 
Có ( ) ( ) ( )
2 221 4 4 4 4 2 0m m m m m = − − − = − + = − với mọi m nên phương trình luôn có hai 
nghiệm 1 2; .x x 
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có: 
1 2
1 2
2
4 4
x x m
x x m
+ = 
= − 
a. Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1 2
2 1
1 1 13
4
x x
x x
+ +
+ = 
( ) ( )
22 2
1 2 1 2 1 21 1 2 2
1 2 1 2
213 13
4 4
x x x x x xx x x x
x x x x
+ − + ++ + +
 = = 
( ) ( ) ( )
2 22 2 4 4 2 13 4 6 8
13
4 4 4 1
m m m m m
m m
− − + − +
 = =
− −
( )22 4 6 8 13 14 6 8
13 0 0
1 1
m m mm m
m