Các bài tập ôn thi học kỳ II môn Toán học Lớp 9 - Nguyễn Khánh Ninh

Các bài hình học ôn tập thi HKII toán 9 – thi tuyển sinh 10 
Lời bàn 
 Kính gửi các thầy cô và học sinh thân mến !. 
 Hình học là một trong các phần quan trọng nhất trong môn toán, đặc biệt là chiếm tỉ 
lệ không nhỏ trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán. Nhìn chung điểm số của 
phần hình học chỉ chiếm khoảng từ 25% đến 40% tổng số điểm của bài thi. Do chỉ chiếm 
tỉ lệ khá nhỏ trong bài thi nhưng điều đó cho thấy hình học là một trong nhưng phần 
tương đối khó đối với học sinh và cũng có một số câu nhỏ của bài hình học để phân loại 
học sinh khá giỏi và xuất sắc. Hình học khó ở chỗ đó là không chỉ thuộc các tính chất, 
định lý mà còn phải vận dụng phù hợp và liên kết tất cả các tính chất logic để có thể suy 
luận, tim tòi ra hướng giải quyết các câu chứng minh ở các bài hình học. Để có thể làm 
hình học tốt thì các học sinh cần phải có một quá trình dài trong việc ôn luyện giải các 
đề hình học để có thể hình thành nên tư duy nhạy bén, phản xạ nhanh. Thông thường 
trong một bài hình thì 2 câu đầu tiên là cơ bản, học sinh trung bình có thể làm được, 
còn 2 câu về sau dành cho các học sinh tư duy ở mức độ khá giỏi trở lên, thậm chí là rất 
khó thì mới có thể làm được. 
 Nhằm đáp ứng nhu cầu để cho học sinh và các thầy cô có được bộ tài liệu các bài 
hình học ôn thi TS10, chúng tôi đã biên soạn và tổng hợp rất nhiều bài hình học để học 
sinh ôn tập với trên 1000 bài hình học từ rất nhiều nguồn khác nhau từ các tác giả, diễn 
đàn, các bài hình đã thi tuyển sinh 10 và trong đó có một số bài hình chúng tôi sáng tạo 
thêm. Mỗi bài hình sẽ có 4 câu hỏi nhỏ. Tuy nhiên, điểm hạn chế đó là trình độ ra đề 
giữa các tác giả, vùng miền khác nhau. Do vậy sẽ có những bài rất dễ, có cả bài ở mức 
độ vận dụng cao hoặc thậm chí có những bài rất khó. Do vậy, học sinh có thể có cái nhìn 
tổng quan đối với các đề thi và lựa chọn các bài phù hợp để làm. 
 Bộ đề còn là tài liệu bổ ích cho các giáo viên có tài liệu tham khảo trong việc nghiên 
cứu, chế tạo các bài hình mới dựa trên các bài hình đã sẵn có dùng trong quá trình đánh 
giá và giảng dạy. 
 Dù sao đi nữa thông qua tài liệu này, kính chúc các học sinh có nhiều sự tự tin trong 
việc thách thức, giài quyết các bài hình học trong các kì thi tuyển sinh 10 sắp tới. 
 Nguyễn Khánh Ninh 
Các đề bài 
Bài 1. Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi E là một 
điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D), nối EC cắt OA tại M. Trên tia AB 
lấy điểm P sao cho AP = AC, tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Q. 
 a/ Chứng minh: Tứ giác DEMO là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: tiếp tuyến của đường tròn (O) tại Q song song với AC. 
 c/ Chứng minh: AM.ED = √𝟐.OM.EA. 
 d/ EB cắt OD tại N, xác định vị trí của E để tổng 
𝑶𝑴
𝑨𝑴
+
𝑶𝑵
𝑫𝑵
 đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, 𝑩𝑨�̂� = 𝟒𝟓𝟎. Gọi O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường cao BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB) cắt nhau 
tại H. 
 a/ Chứng minh: tứ giác ADHE nội tiếp một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: tam giác HDC vuông cân tại D. 
 c/ Tính tỉ số 
𝑫𝑬
𝑩𝑪
 . 
 d/ Chứng minh: OA vuông góc với DE. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác 
 CDEB khi A di động trên cung lớn BC. 
Bài 3. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ 
hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). 
 a/ Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp trong một đường tròn. 
 b/ Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O, C nằm giữa M và D. 
 Chứng minh: MA2 = MC.MD. 
 c/ Gọi H là trung điểm của CD. Chứng minh HM là tia phân giác của 𝑨𝑯�̂� . 
 d/ Cho 𝑨𝑯�̂� = 𝟔𝟎𝟎. Tính diện tích của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA, MB 
 và cung nhỏ AB. 
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, AB < AC, nội tiếp trong đường tròn tâm 
O, kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. 
Kẻ NE vuông góc với AH. Đường vuông góc với AC kẻ từ C cắt đường tròn tại I và cắt 
tia AH tại D. Tia AH cắt đường tròn tại F. 
 a/ Chứng minh: 𝑨𝑩�̂� + 𝑨𝑪�̂� = 𝑩𝑰𝑪 ̂ và tứ giác DENC nội tiếp 
 b/ Chứng minh: AM.AB = AN.AC và tứ giác BFIC là hình thang cân. 
 c/ Chứng minh: tứ giác BMED nội tiếp. 
 d/ Nếu như SinABC.sinACB = 
3
4
. Tính tỉ số 
𝑆∆𝐴𝑀𝑁
𝑆𝐵𝑀𝑁𝐶
 (S là diện tích). 
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng 
vuông góc với AB tại E và kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại F. 
 a/ Chứng minh: AEHF nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 2 tam giác AEF và ACB đồng dạng. 
 c/ Gọi I là trung điểm của đoạn BC, P là giao điểm của đường thẳng BC và 
 EF, K là giao điểm thứ hai của AP với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. 
 Cho BC = 2a, 𝑲𝑪�̂� = 𝟏𝟓𝟎 .Tính diện tích tam giác IKA theo a. 
 d/ Chứng minh: 
𝑩𝑭.𝑬𝑪
𝑩𝑬.𝑭𝑪
=
𝑨𝑯𝟐+𝑩𝑪𝟐
𝑨𝑯𝟐
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hai tiếp tuyến 
tại B và C của đường tròn O cắt nhau tại M. 
 a/ Chứng minh: tứ giác OBMC nội tiếp. 
 b/ Đường thẳng MA cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là D. 
 Chứng minh: ∆MAB ~ ∆MBD. 
 c/ Đường thẳng BO cắt đường tròn O tại E. Chứng minh: MO // EC. 
 d/ Giả sử 𝑩𝑨�̂� = 𝟔𝟎𝟎. Tính theo R thể tích của hình sinh ra khi quay ∆BMC 
 một vòng quanh cạnh BC. 
Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi 
H là chân đường cao dựng từ đỉnh A của tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh 
BC. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC tại N. 
 a/ Chứng minh: tứ giác ANMO nội tiếp. 
 b/ Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AO với đường tròn (O; R). 
 Chứng minh: AB.AC = AK.AH. 
 c/ Dựng đường phân giác AD của tam giác ABC (D thuộc cạnh BC). 
 Chứng minh: tam giác NAD cân. 
 d/ Giả sử 𝑩𝑨�̂� = 𝟔𝟎𝟎; 𝑶𝑨�̂� = 𝟑𝟎𝟎. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường 
 thẳng AH với đường tròn (O; R). Tính theo R diện tích tứ giác BCKF. 
Bài 8. Cho đường tròn (O, R) và một đường thẳng d cố định, không cắt đường tròn (O, 
R), M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với 
đường tròn (O, R), trong đó A, B là tiếp điểm. 
 a/ Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 
 b/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh: tích OM.OI là một 
 số không đổi và không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
 c/ Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Chứng minh: điểm I nằm trên 
 một đường tròn cố định. 
 d/ Giả sử OM = 3R và OH = 2R. Tính diện tích tam giác ABH theo R. 
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi d là đường 
thẳng đi qua điểm B và vuông góc với AC tại K. Đường thẳng d cắt tiếp tuyến đi qua A 
của đường tròn (O) tại điểm M và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N (N khác B). 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên BC. 
 a/ Chứng minh: tứ giác CNKH nội tiếp được. 
 b/ Tính số đo góc 𝑲𝑯�̂�, biết số đo cung nhỏ BC bằng 𝟏𝟐𝟎𝟎 
 c/ Chứng minh: 2KN.MN = AM2 – AN2 – MN2 
 d/ Giả sử NC = 2HK và NB = MN. Tính độ dài AK theo R. 
Bài 10. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp 
tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm); B là điểm thay đổi trên cung 
nhỏ MN (B khác M và N; tia AB không đi qua O). Gọi C là giao điểm thứ hai của tia AB 
với (O) (C khác B), D là trung điểm của BC, K là giao điểm của BC và MN. 
 a/ Chứng minh: tứ giác AMDN nội tiếp một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: KA.KD = KB.KC. 
 c/ Khi điểm B di động trên cung nhỏ MN. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác MKD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. 
 d/ Khi điểm B di động trên cung nhỏ MN. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác OBC luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. 
Bài 11. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn 
thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa 
đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia 
AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng 
AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A). 
 a/ Chứng minh: AD.AE = AC.AB 
 b/ Chứng minh: 3 điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp tam 
 giác CDN. 
 c/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh: điểm I luôn 
 nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB. 
 d/ Chứng minh: 
𝑨𝑩.𝑩𝑵
𝑫𝑵.𝑨𝑫
=
𝑩𝑵
𝑬𝑵
+
𝑪𝑩
𝑪𝑨
Bài 12. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ AH vuông góc với 
BC tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tiếp tuyến tại B và C 
của đường tròn (O). 
 a/ Chứng minh: tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn 
 b/ Chứng minh: 𝑨𝑯�̂� = 𝑨𝑩�̂� và AH2 = AI.AK 
 c/ Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AI và AK. 
 Chứng minh: nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng. 
 d/ Giả sử AI = 2BI và AK = 3CK. Tính tỉ số 
𝑺∆𝑨𝑩𝑪
𝑺∆𝑯𝑴𝑵
 (S là diện tích) 
Bài 13. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, điểm D cố định thuộc đoạn AO 
(D không trùng với A, O). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại D. Gọi C là điểm tùy ý thuộc 
cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Gọi E là giao điểm của AC với MN. 
 a/ Chứng minh: tứ giác DECB nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: CA là tia phân giác của 𝑴𝑪�̂�. 
 c/ Chứng minh: AB2 = AE.AC + BD.AB. 
 d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. 
Bài 14. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với 
đường tròn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I 
khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). 
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE. 
 a/ Chứng minh: 4 điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: 
𝑨𝑩
𝑨𝑬
=
𝑩𝑫
𝑩𝑬
 c/ Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. 
 Chứng minh: HK // DC. 
 d/ Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. 
 Chứng minh: tứ giác BECF là hình chữ nhật. 
Bài 15. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa 
đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Từ điểm M trên tia 
Ax kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm, C khác A). Đoạn AC cắt OM 
tại E, MB cắt nửa đường tròn tại D (D khác B). 
 a/ Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn 
 b/ Chứng minh: hai tam giác MDO và MEB đồng dạng 
 c/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB, I là giao điểm của MB và CH. 
 Chứng minh: đường thẳng EI vuông góc với AM. 
 d/ CD cắt AM tại K. Chứng minh: KA = 2KM. 
Bài 16. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) 
sao cho AB > AC. Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H vẽ HE vuông góc 
với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC). 
 a/ Chứng minh: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA ⊥ EF. 
 b/ Tia FE cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). 
 Chứng minh rằng: Tam giác APH cân. 
 c/ Chứng minh: Tổng 𝑨𝑷�̂� + 𝑨𝑸�̂� không đổi khi A chuyển động trên nửa 
 đường tròn và BE.BC.FC = EF3 
 d/ Nếu 𝑨𝑶�̂� = 𝟔𝟎𝟎. Tính diện tích tam giác HPQ theo R. 
Bài 17. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính 
BC cắt các đoạn AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE, F là giao 
điểm của AH và BC. 
 a/ Chứng minh: AF ⊥ BC và 𝑨𝑭�̂� = 𝑨𝑪�̂� 
 b/ Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD ⊥ OD và 
 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn. 
 c/ Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh MD2 = MK.MF và K là trực 
 tâm của tam giác MBC. 
 d/ Chứng minh: 
𝟐
𝑭𝑲
=
𝟏
𝑭𝑯
+
𝟏
𝑭𝑨
Bài 18. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy 
điểm C sao cho C khác A. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm) và cát tuyến 
CMN (M nằm giữa N và C) với đường tròn. Gọi H là giao điểm và CO và AD. 
 a/ Chứng minh: 4 điểm C, A, O, D cùng nằm trên một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: CH.CO = CM.CN. 
 c/ Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CD thứ tự tại E, F. Đường 
 thẳng vuông góc với OC tại O cắt CA, CD thứ tự tại P, Q. 
 Chứng minh: PE + QF ≥ PQ. 
 d/ Giả sử tứ giác MEPN nội tiếp. Đặt OC = a. Tính độ dài EM theo R và a. 
Bài 19. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa đường tròn (O) 
đường kính AB lấy hai điểm C và D sao cho cung AC nhỏ hơn cung AD. Gọi T là giao 
điểm của CD và AB. Vẽ đường tròn tâm I đường kính T O cắt đường tròn tâm O tại M 
và N (M nằm giữa cung nhỏ CD). Nối MN cắt AB tại E. 
 a/ Chứng minh: TM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
 b/ Chứng minh: TM2 = TC.TD 
 c/ Chứng minh: Tứ giác ODCE nội tiếp. 
 d/ Chứng minh: 𝑴𝑬�̂� = 𝑴𝑬�̂� . 
Bài 20. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Dựng đường thẳng d là tiếp tuyến 
của (O) tại điểm A. Trên cung AB lấy điểm C tùy ý ( C khác A và B). Tia BC cắt đường 
thẳng d tại điểm D. Gọi I là trung điểm của BC. Tia IO cắt đường thẳng d tại điểm K. 
 a/ Chứng minh: tứ giác OADI là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: IB.ID = IO.IK. 
 c/ Xác định vị trí của điểm C trên cung AB để BD + 4BI đạt giá trị nhỏ nhất 
 d/ Cho BK = OD√𝟑. Tính diện tích tứ giác BIAK theo R 
Bài 21. Cho tam giác nhọn ABC có AB = AC. Đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R 
cắt cạnh BC, AC lần lượt tại I và K. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt AI tại D; 
H là giao điểm của AI và BK. 
 a/ Chứng minh: tứ giác IHKC là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 
 b/ Chứng minh: BC là tia phân giác của 𝑫𝑩�̂�. 
 c/ Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác IHKC theo R trong trường hợp 
 tam giác ABC đều. 
 d/ Trong trường hợp AH = 2BH. So sánh diện tích 2 tam giác BHC và ODK. 
 Bài 22. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi H 
là trực tâm và D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC. 
Kẻ DK vuông góc với đường thẳng BE tại K. 
 a/ Chứng minh: tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp và ∆DKH ~ ∆BEC. 
 b/ Chứng minh: 𝑩𝑬�̂� = 𝑩𝑬�̂� 
 c/ Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DKE. Chứng minh: IA ⊥ KG. 
 d/ Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BGA đi qua giao điểm của 
 2 đường thẳng CF và DE 
Bài 23. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường kính AD. 
Đường thẳng qua B vuông góc với AD tại E cắt AC tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của B trên AC và M là trung điểm của BC. 
 a/ Chứng minh: CDEF là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑴𝑯�̂� + 𝑩𝑨�̂� = 𝟗𝟎𝟎. 
 c/ Chứng minh: 
𝑯𝑪
𝑯𝑭
 + 1 = 
𝑩𝑪
𝑯𝑬
 d/ Lấy điểm S thuộc cạnh BD sao cho AS _|_ BC. Chứng minh: FS // CD. 
Bài 24. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho 
 OA = 3R. Từ điểm A kể hai tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn tâm O (P, Q là hai tiếp 
điểm). Từ điểm P kẻ đường thẳng song song với AQ, cắt (O) tại M (M khác P). Gọi N là 
giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ 
tại K. 
 a/ Chứng minh: tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh rằng: KA2 = KN.KP. 
 c/ Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK. Tính độ dài AG theo R. 
 d/ Tính diện tích tứ giác MPNQ theo R 
Bài 25. Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Qua M 
kẻ đường thẳng đi qua tâm O cắt đường tròn (O) tại điểm A và B (MA < MB). Tiếp 
tuyến MC (C là tiếp điểm) với đường tròn (O) cắt tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) ở 
D; BC và OD cắt nhau tại H; AD cắt đường tròn (O) tại E (E # A). 
 a/ Chứng minh: các tứ giác BDEH, AOHE nội tiếp được trong một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: AE.AD = 4R2. 
 c/ Tính diện tích tam giác BCD theo R khi 𝑩𝑴�̂� = 𝟑𝟎𝟎 . 
 d/ Tính diện tích tam giác DHM theo R nếu AM = R. 
Bài 26. Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là trực 
tâm và I, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B của tam giác ABC 
 (I ∈ BC, K ∈ AC). Gọi M là trung điểm của BC, kẻ HJ vuông góc với AM tại J. 
 a/ Chứng minh: 4 điểm A, H, J, K cùng thuộc một đường tròn và 𝑰𝑯�̂� = 𝑴𝑱�̂� 
 b/ Chứng minh: 2 tam giác AJK và tam giác ACM đồng dạng. 
 c/ Chứng minh: MJ.MA < R2. Cho biết S là diện tích 
 d/ Khi 3 điểm I, J, K thẳng hàng và CK = 2AK. Tính tỉ số 
𝑆∆𝐵𝐻𝐶
𝑆∆𝐴𝐵𝐶
Bài 27. Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn tâm I, gọi D, E, F lần lượt 
là các tiếp điểm của đường tròn I với các cạnh BC, CA và AB. Các đường thẳng DE, 
DF lần lượt cắt tia AI tại K và L, gọi H là đường cao hạ từ A xuống BC. 
 a/ Giả sử số đo góc 𝑩𝑨�̂� = α, hãy tính số đo góc 𝑩𝑰�̂� theo α. 
 b/ Chứng minh: 2AE = AB + AC – BC và BK // EF. 
 c/ Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác KMLH nội tiếp. 
 d/ Giả sử 
𝑨𝑬
𝑬𝑪
=
𝟑
𝟐
; 
𝑨𝑭
𝑩𝑭
=
𝟑
𝟓
. Tính tỉ số 
𝑫𝑪
𝑫𝑩
Bài 28. Cho nữa đường tròn (O;R) đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C 
không trùng với A, B). Gọi H là hình chiếu của C trên đường thẳng AB. Trên cung BC 
lấy điểm D (D khác C, B), hai đường thẳng AD và CH cắt nhau tại E. 
 a/ Chứng minh: tứ giác BDEH nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: AC2 = AC.AE. 
 c/ Gọi (I) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt 
 CB tại F (khác B). Chứng minh rằng EF // AB. 
 d/ Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để R = 2EF 
Bài 29. Cho đường tròn (O; R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường 
tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC; AD thứ tự tại E 
và F. 
 a/ Chứng minh: tứ giác ACBD là hình chữ nhật. 
 b/ Chứng minh: ∆ACD ~ ∆CBE. 
 c/ Chứng minh: rrứ giác CDF E nội tiếp được đường tròn. 
 d/ Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. 
 Chứng minh: √𝑺 = √𝑺𝟏 + √𝑺𝟐 
Bài 30. Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến 
AB và AC (B, C là các tiếp điểm). 
 a/ Chứng minh: tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh: tứ giác BOCH là hình thoi. 
 c/ Gọi I là giao điểm của đoạn OA với đường tròn (O). 
 Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
 d/ Cho OB = 3cm, OA = 5cm. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bài 31. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có hai đường chéo vuông 
góc với nhau và cắt nhau tại I. Vẽ đường kính CE của (O). 
 a/ Chứng minh: Tứ giác AEDB là hình thang cân 
 b) Chứng minh: IA.DC = ID.AB. 
 c/ Tính tống AB2 + CD2 theo R. 
 d/ Cho biết BI = 2cm; DI = 8cm và AI = 3cm. Tính bán kính R của (O). 
Bài 32. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và 
BD cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho EF vuông góc với AD. 
Đường thẳng CF cắt đường tròn đường kính AD tại điểm thứ hai là M. Gọi N là giao 
điểm của BD và CF. Chứng minh rằng: 
 a/ Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn. 
 b/ FA là đường phân giác của góc 𝑩𝑭�̂� 
 c/ BD.NE = BE.ND 
 d/ Giả sử FD.AE = EC.AD. Chứng minh: N là trung điểm cạnh FC 
Bài 33. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và có AB < AC . 
Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E, F thuộc 
AD). Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). 
 a/ Chứng minh: tứ giác ABHE nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: HE vuông góc với AC. 
 c/ Giả sử 𝑨𝑩�̂� − 𝑨𝑪�̂� = 𝟑𝟎𝟎. Chứng minh: AB = 2HE. 
 d/ Chứng minh: 
𝑨𝑩𝟐
𝑨𝑪𝟐
=
𝑯𝑩
𝑯𝑪
.
𝑩𝑬
𝑭𝑪
Bài 34. Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp (O). Phân giác của góc BAC cắt 
đường tròn (O) tại D (khác A). Trên đoạn OD lấy điểm P (P khác O và D). Các đường 
thẳng đi qua P và tương ứng song song với AB, AC lần lượt cắt DB, DC tại M và N. 
 a/ Chứng minh: 𝑴𝑷�̂� = 𝑩𝑨�̂� và 4 điểm P, M, D, N cùng nằm trên một đường 
 tròn. 
 b/ Chứng minh: tam giác PMN cân tại P. 
 c/ Đường tròn đi qua 4 điểm P, M, D, N cắt (O) tại Q và D. 
 Chứng minh: QA là phân giác của góc 𝑴𝑸�̂�. 
 d/ Giả sử 𝑩𝑶�̂� = 𝟏𝟐𝟎𝟎 và tanABC = 3.tanACB. Xác định vị trí điểm P trên 
 cạnh OD để tổng EN + MF đạt giá trị lớn nhất 
Bài 35. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm trên đoạn OA (C khác O và 
A). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại D. Gọi E là 
trung điểm đoạn CD. Tia AE cắt nửa đường tròn (O) tại M. 
 a/ Chứng minh: tứ giác BCEM nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑨𝑴�̂� + 𝑫𝑨�̂� = 𝑫𝑬�̂�. 
 c/ Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng AB tại F. 
 Chứng minh: FD2 = FA.FB và 
𝑪𝑨
𝑪𝑫
=
𝑭𝑫
𝑭𝑩
. 
 d/ Gọi (I; r) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM. Giả sử CD = 2r. 
 Chứng minh: CI song song với AD. 
Bài 36. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai 
đường cao BD và CE của tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB). 
 a/ Chứng minh: tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. 
 b/ Đường thẳng AO cắt ED và BD lần lượt tại K và M. 
 Chứng minh: AK.AM = AD2. 
 c/ Chứng minh: 𝑩𝑨�̂� = 𝑶𝑨�̂�. 
 d/ Chứng minh: AM = 
𝑨𝑫.𝑨𝑯.𝑩𝑪
𝑨𝑪.𝑫𝑬
Bài 37. Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với 
nửa đường tròn đó (Ax nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa 
đường tròn). Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn tại D. Kéo dài AD và BC 
cắt nhau tại E. Kẻ EH vuông góc với Ax tại H. 
 a/ Chứng minh: tứ giác AHEC nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑨𝑩�̂� = 𝑫𝑩�̂� và tam giác ABE cân 
 c/ Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tại F và K. Chứng minh: AKEF là hình thoi. 
 d/ Cho BC = R. Tính chu vi tam giác CHK theo R 
Bài 38. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R. 
Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc 
AC). 
 a/ Chứng minh: tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: CE.CB = CK.CA 
 c/ Chứng minh: 𝑶𝑪�̂� = 𝑩𝑨�̂�. 
 d/ Cho B, C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam 
 giác ABC nhọn, khi đó H thuộc một đường tròn (T) cố định. Xác định tâm I và 
 tính bán kính r của đường tròn (T), biết R = 3 cm. 
Bài 39. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn 
(A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A, B). Từ điểm 
C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (D ∈ AB, E ∈ 
MA, F ∈ MB). Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng 
minh rằng: 
 a/ Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn. 
 b/ Hai tam giác CDE và CF D đồng dạng. 
 c/ Tia đối của tia CD là tia phân giác của góc 𝑬𝑪�̂� 
 d/ Đường thẳng IK song song với đường thẳng AB. 
Bài 40. Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A 
lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp 
điểm). Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH 
tại N. Chứng minh rằng: 
 a/ Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn. 
 b/ AM2 = MK.MB. 
 c/ 𝑲𝑨�̂� = 𝑶𝑴�̂� và N là trung điểm của cạnh CK 
 d/ Trên tia đối tia MA lấy điểm S sao cho MA = 2MS. Chứng minh: AS là tiếp 
 tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CKS 
Bài 41. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm (O), M là một điểm 
nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của 
M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
 a/ 4 điểm M, D, B, F thuộc một đường tròn và 4 điểm M, D, E, C thuộc một 
đường tròn 
 b/ 3 điểm D, E, F thẳng hàng 
 c/ 
𝑩𝑪
𝑴𝑫
=
𝑪𝑨
𝑴𝑬
+
𝑨𝑩
𝑴𝑭
 d/ Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để DE = DF 
Bài 42. Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc 
AB (H ∈ AB), MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10cm, AB = 12cm. 
 a/ Tính MH và bán kính R của đường tròn. 
 b/ Trên tia đối tia BA lấy điểm C. Tia MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại 
 E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp 
 c/ Chứng minh: NB2 = NE.ND và AC.BE = BC.AE. 
 d/ Chứng minh: NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. 
Bài 43. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD = 2R. Hai đường 
chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. 
 a/ Chứng minh: tứ giác ABEF nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑫𝑩�̂� = 𝑫𝑩�̂� 
 c/ Tia BF cắt (O) tại K. Chứng minh: EF // CK. 
 d/ Giả sử 𝑬𝑭�̂� = 𝟔𝟎𝟎 .Tính theo R diện tích hình giới hạn bởi dây BC và cung 
 nhỏ BC 
Bài 44. Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính 
giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC, kẻ tia Bx vuông góc với 
tia MA ở I và cắt tia CM tại D. 
 a/ Chứng minh: 𝑨𝑴�̂� = 𝑨𝑩�̂� và MA là tia phân giác của 𝑩𝑴�̂�. 
 b/ Chứng minh: A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và 𝑩𝑫�̂� có độ 
 lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
 c/ Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. 
 Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. 
 d/ Giả sử 𝑩𝑶�̂� = 𝟏𝟐𝟎𝟎 và MA = MC. Tính AD theo R. 
Bài 45. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh 
AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm hai đường thẳng CD và BE. 
 a/ Chứng minh: tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I 
 của đường tròn này 
 b/ Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh: CM.CB = CE.CA 
 c/ Chứng minh: ID là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
 d/ Tính theo R diện tích tam giác ABC, biết 𝑨𝑩�̂� = 𝟒𝟓𝟎; 𝑨𝑪�̂� = 𝟔𝟎𝟎; BC = 2R. 
Bài 46. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và 
By (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn (O)). Qua điểm M thuộc 
nửa đường tròn (M không trùng với A và B) kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt tiếp tuyến Ax và By 
lần lượt tại E và F. 
 a/ Chứng minh: tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp. 
 b/ AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. 
 Chứng minh: tứ giác MPOQ là hình chữ nhật. 
 c/ Chứng minh: Tứ giác EPQF nội tiếp. Tính diện tích tứ giác EPQF theo R 
 nếu như EF = 3R 
 d/ Gọi S và T lần lượt là trung điểm các cạnh OQ và MF. 
 Chứng minh: EQ vuông góc với ST 
Bài 47. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao 
nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ 
M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ 
nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung P Q cắt OH và OM lần lượt tại I và K 
 a/ Chứng minh: tứ giác OMHQ nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑶𝑴�̂� = 𝑶𝑰𝑷 ̂ 
 c/ Chứng minh: khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố 
 định. 
 d/ Biết OH = R√𝟐 , tính tích IP.IQ theo R. 
Bài 48. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm trên nửa 
đường tròn (C khác A và B). Trên cung AC lấy điểm D (D khác A và C). Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của C trên AB và E là giao điểm của BD và CH. 
 a/ Chứng minh: ADEH là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh: 𝑨𝑪�̂� = 𝑯𝑪�̂� và AB.AC = AC.AH + CB.CH. 
 c/ Trên đoạn OC lấy điểm M sao cho OM = CH. Chứng minh rằng khi C chạy 
 trên nửa đường tròn đã cho thì M chạy trên một đường cố định. 
 d/ Giả sử DA = DC và BC = R. Tính MD theo R 
Bài 49. Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc CAB, 
BCA, ABC đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH. 
 a/ Chứng minh: tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 
 b/ Chứng minh CE.CO = CD.CB. 
 c/ Chứng minh: EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. 
 d/ Gọi I, J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. 
 Chứng minh rằng: 𝑫𝑰𝑱 ̂ = 𝑫𝑭�̂� . 
Bài 50. Cho đường tròn (O) có AB là một dây cung cố định không qua O. Từ một điểm 
M bất kì trên cung lớn AB (M không trùng với A và B) kẻ dây cung MN vuông góc với 
AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác AMN (Q thuộc đường thẳng AN). 
 a/ Chứng minh: các điểm A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn. 
 b/ Gọi I là giao điểm của AB và MQ. Chứng minh tam giác BIM cân. 
 c/ Kẻ MP vuông góc với BN tại P. Chứng minh: 3 điểm H, P, Q thẳng hàng. 
 Xác định vị trí của M sao cho MQ.AN + MP.BN đạt giá trị lớn nhất. 
 d/ Chứng minh: 
𝑯𝑷
𝑯𝑸
=
𝒔𝒊𝒏𝑴𝑨𝑩.𝒄𝒐𝒔𝑴𝑨𝑩
𝒔𝒊𝒏𝑴𝑩𝑨.𝒄𝒐𝒔𝑴𝑩𝑨
Bài 51. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ 
hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng 
song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại 
F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 1) Chứng 
minh rằng: 
 a/ Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 
 b/ MN2 = NF.NA và MN = NH. 
 c/ 
𝑯𝑩𝟐
𝑯𝑪𝟐
−
𝑬𝑭
𝑴𝑭
 = 1 
 d/ Lấy điểm S thuộc cạnh AM sao cho FS // OM. Chứng minh: AF2 = 2FS.OM 
Bài 52. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các 
tiếp điểm). 
 a/ Chứng minh: 4 điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn 
 b/ Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn đó sao cho điểm C 
 nằm giữa hai điểm M và D. Tiếp tuyến tại điểm C và điểm D của đường tròn 
 (O) cắt nhau tại điểm N. Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm 
 của CD và ON. Chứng minh rằng OH.OM = OK.ON = R2 
 c/ Chứng minh: 3 điểm A, B, N thẳng hàng 
 d/ MD cắt AB tại S. Chứng minh: 
𝟏
𝑴𝑨
+
𝟏
𝑴𝑩
=
𝟐
𝑴𝑺
Bài 53. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp 
tuyến MA, MB đến đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi BE là đường kính 
của đường tròn (O) và F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME với đường tròn (O). 
Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh: 
 a/ MAOB là tứ giác nội tiếp. 
 b/ Chứng minh AE // MO. 
 c/ MN = NH. 
 d/ AB cắt ME và NE lần lượt tại P và Q. Tính OM theo R trong trường hợp 
 P là trung điểm cạnh AQ 
Bài 54. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm 
chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. 
Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 
 a/ Chứng minh: 4điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 
 b/ Chứng minh: NB2 = NK.MN. 
 c/ Chứng min