Chuyên đề Đại số 9: Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxki - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Nhơn Bình

BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI VÀ BUNHIACOPXKI
 BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI: 
 Cho n số không âm a1, a2, a3,....,an, ta có 
 a1+ a2 + a3 +....+an n . Dấu bằng xãy ra khi n số này đều bằng nhau 
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI:
Cho hai bộ n số (a1, a2, a3,....,an) , (b1, b2, b3,....,bn),ta có :
(a1b1 + a2b2 + ....+anbn)2 
Dấu bằng xãy ra khi = =....=
CÁC KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG :
a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab (a, b tùy ý) 
ab + bc + ca (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 (a, b ,c tùy ý) 
 + (A , B dương) 
CÁC VÍ DỤ
VD1: Cho a + b 1 . Chứng minh rằng: a) a3 + b3 b) a4 + b4 
HD:a) a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)[(a +b)2 -3ab](a + b) [(a + b)2 (a + b)2 ]
= (a + b).(a + b)2 = (a + b)3 .1 = 	
b) a4 +++ 4= 4.|a|. 	
 b4 +++ 4= 4.|b|. 
Cộng vế theo vế: a4 + b4 + hay a4 + b4 + - = 
VD2: Cho u , v là các số dương thỏa u + v = 1. Tìm GTNN của P = +
HD: P = u2 + v2 + ++ 4 = ( u2 + v2)+ 4
Ta có 1 = (u + v)2 2( u2 + v2) ( u2 + v2) 
 và 1 = (u + v)2 4uv 4 16
P .( 1 +16) +4 = . Dấu = khi u = v = 
VD3: Cho x , y là các số không âm thỏa x2 + y2 = 1.
 a) Chứng minh : 1 x + y 
 b) Tìm GTLN và NN của P = +
HD:a) Từ (x + y)2 2( x2 + y2) = 2 x + y . Dấu = khi x = y = 
Lại có (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 1 + 2xy 1 x + y 1 . Dấu = khi x = 0 hoặc y = 0 
 b) P2 = 2 + 2(x + y) + 2
Vì x + y và 4xy 2( x2 + y2) = 2 
 P2 2 + 2 + 2= 2 + 2 + 2(1 + ) = 4(1 + ) 
 P 2 . Pmax = 2 khi x = y = 
Lại có x + y 1 và 4xy 0 
 P2 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = (1 +)2 P 1 + 
 Pmin = 1 + khi x = 0 hoặc y = 0 
VD4: Cho x , y, z là các số không âm . Chứng minh rằng
 P = ++ ++
HD: Cô si cho 2 số : x3 + y2 2xy , .......
 P ++ ++ 
 Dấu = xãy ra khi x3 = y2 ; y3 = z2 ; z3 = x2 và x = y = z hay x = y = z = 1
VD5: Cho a,b,c dương thỏa a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của P = ++
HD: P2 = + + + 2(a2 + b2 + c2 )
Aùp dụng BĐT Cô si cho 2 số ta có :
+ = c2 2c2 ; + 2a2 ; + 2b2
P2 3(a2 + b2 + c2 ) = 3 P . Dấu = xãy ra khi a = b = c = 
 VD6: Cho x , y là các số dương thỏa x + y =1. Chứng minh 9
 HD: xy = 4
 Vế trái = . = . = = 
 = 2.4 + 1 9 
VD7: Cho x , y , z là các số dương thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng :
 P = + + 3
HD: Côsi: ; ; 
Suy ra P + +3 = 3.1 = 3. 
Dấu = xãy ra khi x = y = z = 1. 
 VD8: Cho a,b,c > 0, a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng: a) b + c 16abc b) 64
HD:a) 1 = a + (b + c) 2 1 4a(b + c) (b + c) 4a(b + c)2 16abc
Dấu = xãy ra khi a = , b = c = 
b) 1 + = = 4
Tương tự cho 1 +, 1 +. Sau đó nhân 3 bất đẳng thức, ta được đpcm
VD9: Cho a,b,c dương Chứng minh A = ++
HD: a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) (a + b)ab
A ++
= + + = 
VD10: (Bất đẳng thức Nasơ bít) Cho a,b,c dương ,Chứng minh :
 P = + + 
HD: P + 3 = + 1 + + 1 + + 1 = (a + b + c )
Đặt A = b + c , B = c + a , C = a + b a + b + c = 
P + 3 = P = 
VD11:Cho a,b,c dương Chứng minh + + 
HD: Cách 1: Nhân hai vế của Bất đẳng thức Nasơ bít cho a+ b + c
 Cách 2: + 2 = a. Dấu bằng khi b + c = 2a
Tương tự cho và rồi cộng ba bđt lại
 Cách 3: Aùp dụng + với x,y tùy ý ; a,b dương
 Dấu bằng xãy ra khi = 
Chú ý: nếu có thêm điều kiện abc = 1 ,ta có bđt + + (1)
 VD12: Cho a,b,c dương và abc = 1 Chứng minh rằng ++ 
 HD:= = . Đặt x = , y =, z =
 thì xyz = 1 , Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bđt (1)
VD13: Cho a,b,c dương thỏa a+ b + c = 3 , chứng minh :
 P = + + 
HD: (a+ b + c) - P = a - + b - + c - = + + 
 + + = (ab + bc + ca) ..(a + b + c)2 = 
Suy ra 3 - P hay P 3 - = 
Mở rộng: Cho x,y,z dương thỏa x+ y + z = 3 , Tìm GTNN của A=++
HD: 3 - A = x -+ y - + z -= + + 
 (Cô si) 
 (Bunnhia) = 
Suy ra 3 - A hay A 3 - = 
VD14: Cho x , y , z dương , thỏa x + y + z = 3. Tìm GTNN của P = ++
HD: ++ = . Dấu = khi x = y = z = 1
 VD15: Cho a,b,c dương thỏa a+ b + c = 3. Tìm GTNN của P = + + 
HD: P2 = + ++ ++
Ta có + + + c 4a ;+ ++ a 4b ; +++ b 4c 
 P2 3(a + b + c) = 9 P 3, Dấu = xãy ra khi a = b = c = 1
 VD16: Cho a,b,c dương thỏa abc = 1 , chứng minh :
A = ++ 
HD: + 2ab ; + 1 2b + 2+ 3 2( ab + b + 1)
Tương tự .......
A 
= 
= = 
= = .1 = . Dấu = xãy ra khi a = b = c = 1
VD17: Cho x , y , z là các số dương thỏa x +y +z 1. Chứng minh rằng :
 x + y + z + + + 10
HD: Côsi cho 6 số : x + y + z + + + 6 = 2
Mà + + 9 8
Cộng hai BĐT trên, suy ra đpcm. Dấu = xãy ra khi x = y = z = 
VD18: Cho x2 + y2 = 1. Tìm x, y để P = x4y6 đạt GTLN
HD: Aùp dụng BĐT Cô si cho 5 số : 3số y2 và 2 số , có :
5 3(x2 + y2) = 3 x4y6 
 P đạt GTLN khi 
 VD19: Cho x,y,z dương thỏa + += 4 , chứng minh rằng :
P = + + 1
HD: Aùp dụng BĐT , ta có:
= = 
Tương tự : ; 
Suy ra P = = . Dấu = xãy ra khi x = y = z = 
VD20: Cho a,b,c là ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng :
a) (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b ) abc
b) + + 2
HD:a) Aùp dụng BĐT Cô si cho hai số :
2 (a + b - c) + (b + c - a) = 2b
Tương tự : 2 2c ; 2 2a
Nhân ba BĐT trên, ta được đpcm. Dấu = xãy ra khi a = b = c. Ta có tam giác đều
b) Aùp dụng + rồi hoán vị vòng quanh 
 VD21: Cho x > 1 , y > 2 , z > 8 và + + = 2 . Chứng minh 2 
 HD: = + = + 2
 = + = + 2
 = + = + 2
 Nhân ba BĐT : đpcm
 Dấu = xãy ra khi = = = = = x = ; y = 3 ; z = 12 
VD22: Cho a,b,c dương Chứng minh + +> 2
HD:= = = . Dấu = khi a = b + c
Tương tự , 
Cộng ba bđt và chú ý không thể xãy ra dấu = , ta được bđt cần chứng minh 
VD23: Cho x2 + y2 = x+ y.Chứng minh rằng 3x + 4y 5
HD: Áp dụng BĐT Bunnhiacopxki cho hai bộ số : (x ; y) và ta có:
 (x2 + y2 )2 = (x2 + y2 )[2 -(x2 + y2 )]
x2 + y2 2 -(x2 + y2 ) x2 + y2 1
Lại áp dụng BĐT Bunnhiacopxki cho hai bộ số :(3 ; 4) và (x ; y) có
 (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2 ) 25 3x + 4y 5
 Dấu = khi x = ; y = 
VD24: Tìm GTLN của P = + 
HD: Đk : 1 x . P = + 
 Áp dụng BĐT Bunnhiacopxki cho hai bộ số : (1 ; ) và ta có:
P2 ( 1 +2)= 3. = P . 
 Pmax = khi = x = 
VD25: Tìm GTNN của P = (x - 3y + 1)2 + (2x - 6y -5)2
HD: P = (x - 3y + 1)2 + (-2x + 6y + 5)2
Ta có: [1.(x - 3y + 1) + (-2x + 6y + 5) ]2 ( 1 + )P P P 
VD26: Tìm GTNN, LN của P = y - 2x + 5 với 36x2 + 16y2 = 9
HD: y - 2x =.4y - .6x 
Áp dụng BĐT Bunnhiacopxki : .= = 
 y - 2x 5 P + 5 P 
VD27: Cho a , b , c dương thỏa a + b + c = 1. Tìm GTNN của P = +
HD: Cách 1: P = + = +++
Áp dụng BĐT Bunnhiacopxki cho hai bộ 4 số:
và , ta có:
(1 + 3 + 3 + 3)2 P[a2 + b2 + c2 + 9(ab + bc + ca)]
100 P[(a + b + c)2 + 7(ab + bc + ca)] P[(a + b + c)2 + (a + b + c)2]
100 P. (a + b + c)2 = P. P 30. Dấu = khi a = b = c = 
Cách 2: 1 = a + b + c 1 27abc 
P = ++= + +++ 
 + =+
+ = 30
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI TẬP:
1. Cho các số dương a ,b ,c ,d. Tìm GTNN của P = + ++
2. Cho các số dương a, b thỏa a + b = 2. Tìm GTNN của P = + 
3. Tìm GTLN của P = 3 - 2x + 
HD: P = -1 +2(2 - x) + 1. ....... = -1 +3
 4. Cho các số a ,b ,c không âm thỏa a+ b + c = 4 , chứng minh rằng:
 4 ++ 2
5. Cho các số dương a ,b , c thỏa 3(ab + bc + ca) = 1, chứng minh rằng:
 + + 
 HD: VT = + + = ......
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chúc thành công !