Đề chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Kim Động (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG - NĂM 2019
Câu 1: (2,0 điểm)
 1 1 1 1
 a) 
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 b) x 1 x 1 x x 1 0 
Câu 2: (2,0 điểm) 
 3 4 3 2 2
 a) Rút gọn biểu thức: A 
 3 4 3 2 1
 2.2019
 b) So sánh B 20202 1 20192 1 và C 
 20202 1 20192 1
Câu 3:(2,0 điểm) 
 a) Chứng minh hàm số y m2 2m 2 x luôn đồng biến với mọi tham số m .
 b) Cho các số a , b thỏa mãn: a b 3 và a 1; b 5 ; b 4 .
 a 8 4a b
 Tính giá trị của biểu thức: E 
 b 5 3a 3
Câu 4:(3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt nhau tại H . Gọi 
 E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC .
 a) Chứng minh rằng: AE.AB A F.AC 
 1
 b) Giả sử HD AD và ·ABC ; ·ACB  . Chứng minh tan .tan  3 .
 3
 c) Gọi M ; N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK . Chứng minh 
 bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng. 
Câu 5:(1,0 điểm): Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a b c 3.
 1 1 1
 Chứng minh rằng: a5 b5 c5 6 .
 a b c LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG- NĂM 2019
Câu 1:(2,0 điểm)
 1 1 1 1
 a) . 
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 b) x 1 x 1 x x 1 0.
 Lời giải
 x 4
 x 5
 a) Điều kiện xác định: .
 x 6
 x 7
 1 1 1 1
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 
 1 1 1 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
 1 1 1
 x 4 x 7 18
 x 7 x 4 1
 x 4 x 7 18
 3 1
 x 4 x 7 18
 x2 11x 28 54
 x2 11x 26 0 
 x2 13x 2x 26 0
 x(x 13) 2(x 13) 0
 x 2 x 13 0
 x 2 (tm)
 x 13 (tm)
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 13; 2 .
 b) x 1 x 1 x x 1 0 
 Điều kiện xác định: x 0 .
 x 1 x 1 x x 1 0
 x 1 1 x x 1 0
 x 1 1 1 x 0
 x 1 1 0 x 1 1 x 0 (tm)
 1 x 0 x 1 x 1 (tm) Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 1.
Câu 2:(2,0 điểm) 
 3 4 3 2 2
 a) Rút gọn biểu thức: A .
 3 4 3 2 1
 2.2019
 b) So sánh B 20202 1 20192 1 và C .
 20202 1 20192 1
 Lời giải
 3 4 3 2 2
 a) A 
 3 4 3 2 1
 3 4 3 2 3 8 3 2( 3 4 3 2 1)
 A 3 2 .
 3 4 3 2 1 3 4 3 2 1
 b) Ta có 
 2 2
 2020 1 2019 1 20202 20192
 B 20202 1 20192 1 
 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1
 2020 2019 2020 2019 2020 2019 2.2019
 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1 20202 1 20192 1
 C
 Vậy ta có B C .
Câu 3:(2,0 điểm) 
 a) Chứng minh hàm số y m2 2m 2 x luôn đồng biến với mọi tham số m .
 b) Cho các số a , b thỏa mãn: a b 3 và a 1; b 5 ; b 4 .
 a 8 4a b
 Tính giá trị của biểu thức: E .
 b 5 3a 3
 Lời giải
 2
 a) Ta có: m2 2m 2 m 1 1 0 m ¡
 Vậy hàm số y m2 2m 2 x luôn đồng biến với mọi tham số m .
 a 8 4a b
 b) E 
 b 5 3a 3
 Có a b 3 a b 3 
 a 8 4a b b 3 8 4(b 3) b b 5 3b 12
 E 1 1 0
 b 5 3a 3 b 5 3(b 3) 3 b 5 3b 12
 Vậy E 0 .
Câu 4:(3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt nhau tại H . Gọi 
 E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC .
 a) Chứng minh rằng: AE.AB A F.AC 
 1
 b) Giả sử HD AD và ·ABC ; ·ACB  .Chứng minh tan .tan  3 .
 3
 c) Gọi M ; N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK . Chứng minh 
 bốn điểm E, M , N, F thẳng hàng. Lời giải
 A
 I
 K F
 H N
 M
 E
 B D C
a) Xét ADB vuông tại D ta có DE  AB 
 AE.AB AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Xét ADC vuông tại D ta có DF  AC 
 AF.AC AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) AE.AB AF.AC (đpcm). 
 1 AD
b) Ta có HD AD 3
 3 HD
Xét ADB vuông tại D ta có:
 AD
 tan tan ·ABD 
 BD
Xét ADC vuông tại D ta có:
 AD
 tan  tan ·ACD 
 DC
 AD2
 tan .tan  (3)
 BD.DC
Xét ADB và CDH ta có :
 ·ADB C· DH ( 90) 
 D· AB D· CH (cùng phụ với ·ABD)
 ADB∽ CDH (g.g)
 AD DC
 (cặp cặp tương ứng)
 BD HD
 AD.HD BD.DC 
 AD 1
 BD.DC HD
 AD2 AD
 BD.DC HD
 AD AD2
Mà 3 3 (4)
 HD BD.DC Từ (3) và (4) tan .tan  3 (đpcm).
 c) Xét tứ giác DEKN ta có :
 D· EK 90 (do DE  AB )
 E· KN 90 (do CK  AB )
 D· NK 90 (do DN  KC )
 tứ giác DEKN là hình chữ nhật.
 E· DN 90 
 Ta có: H· DN B· DE (cùng phụ với E· DH ) (5)
 Xét tứ giác BEMD ta có:
 B· ED B· MD 90 
 Mà B· ED và ·BMD là 2 góc kề nhau cùng nhìn cạnh BD dưới một góc vuông
 tứ giác BEMD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) (6)
 B· ME B· DE (2 góc nội tiếp cùng chắn M¼D )
 Chứng minh được tứ giác MDNH nội tiếp
 H· MN H· DN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung H¼N ) (7)
 Từ (5); (6); (7) H· MN B· ME
 E , M , H thẳng hàng
 Chứng minh tương tự ta có M , N , F thẳng hàng
 bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng.
Câu 5:(1,0 điểm) Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a b c 3 . 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: a5 b5 c5 6 .
 a b c
 Lời giải
 1
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương a5 và ta có:
 a
 1 1
 a5 2 a5 . 2a2 (1)
 a a
 1
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương b5 và ta có:
 b
 1 1
 b5 2 b5 . 2b2 (2)
 b b
 1
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương c5 và ta có:
 c
 1 1
 c5 2 c5 . 2c2 (3)
 c c
 Cộng từng vế của (1); (2); và (3) ta có:
 1 1 1
 a5 b5 c5 2(a 2 b2 c2 ) (4)
 a b c
 Ta lại có: 
 a2 1 2a
 b2 1 2b
c2 1 2c
 a2 b2 c2 3 2(a b c)
 Mà a b c 3 nên suy ra a2 b2 c2 3 6 a2 b2 c2 3 (5)
 1 1 1
 a5 b5 c5 6
 a b c
 1 1 1
 Vậy: a5 b5 c5 6 .
 a b c