Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Tân Phú (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN PHÚ
 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 9
 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
 Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. (3 điểm) Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn: 
 a2019 b2019 a2020 b2020 a2021 b2021
 Tính giá trị của biểu thức P 2022 a b ab 2022
Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình:
 a) x2 7x 12 x 3 x2 x 6 
 b) x 2 4 x 2x2 5x 3
Câu 3. (3 điểm)
 1 3 5
 a) Cho x là số thực dương, chứng minh rằng: x 
 3x2 1 8 8
 674 674 674 1011
 b) Cho a,b,c 0 và a b c 3 . Chứng minh rằng: 
 3a2 1 3b2 1 3c2 1 2
Câu 4. (4 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn nội tiếp (tâm I ) của tam giác ABC lần lượt 
 tiếp xúc với BC , CA tại D , E . Gọi K là điểm đối xứng của D qua trong điểm 
 M của BC . Dựng đường kính DF của đường tròn I . 
 a) Chứng minh 2BD BA BC AC và A; F; K thẳng hàng.
 b) Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt tia DE tại Q. Gọi N là trung điểm của QK . 
 Chứng minh BN vuông góc với AK
Câu 5. (2 điểm)
 Cho tam giác ABC , AB AC . Trên cạnh AB lấy hai điểm D , E sao cho 
 AD BE và D nằm giữa A và E . Đường thẳng qua E , song song với AC cắt các 
 2
 ME CD 
 đường thẳng BC , CD thứ tự tại M , N . Chứng minh rằng: 
 MN CN 
Câu 6. (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x4 x2 y2 y 10 0
 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN TÂN PHÚ
 Năm học: 2020-2021
Câu 1. (3 điểm) Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn: 
 a2019 b2019 a2020 b2020 a2021 b2021
 Tính giá trị của biểu thức P 2022 a b ab 2022
 Lời giải
 a2019 b2019 a2020 b2020 a2021 b2021
 a2019 b2019 a2020 b2020
 2020 2020 2021 2021
 a b a b
 a2019 a2020 b2020 b2019
 2020 2021 2021 2020
 a a b b
 2019 2019
 a 1 a b b 1 
 *
 2020 2020 
 a 1 a b b 1 
 TH1: Nếu a 1 tính được b 1
 TH2: Nếu a 1
 a2019 1 a b2019 b 1 
 a b
 * 1 1 a b 1
 1 a b 1
 a b
 Vậy a b 1.
 P 2022 a b ab 2022 2021
Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình:
 a) x2 7x 12 x 3 x2 x 6 
 b) x 2 4 x 2x2 5x 3
 Lời giải
 a) x2 7x 12 x 3 x2 x 6 
 x 3 x 4 x 3 2 x 2 (Điều kiện: x 2 )
 x 3 x 4 x 3 x 2 0 1 + Nếu x 3 
 x 3
 1 x 3 x 4 x 2 0 
 x 2 x 4 (2)
 x 4 0 x 4 0
 (2) x 7
 2 2 
 x 2 x 8x 16 x 9x 14 0
 + Nếu 2 x 3
 x 3
 1 x 3 x 4 x 2 0 
 x 2 4 x (3)
 4 x 0 x 4
 3 x 2
 2 2 
 x 2 x 8x 16 x 9x 14 0
 Vậy S 2;3;7
 b) x 2 4 x 2x2 5x 3
 x 2 0 x 2
 Điều kiện: 2 x 4
 4 x 0 x 4
 Ta có: x 2 4 x 2x2 5x 3
 x 2 1 1 4 x 2x2 5x 3
 x 3 x 3
 x 3 2x 1 
 x 2 1 1 4 x
 x 3 0
 1 1
 2x 1 1 
 x 2 1 1 4 x
 1
 Từ điều kiện 2 x 4 . Ta thấy 1; 
 x 2 1
 1 1 1
 1 2 ; 2x 1 5 nên (1) vô nghiệm.
 1 4 x x 2 1 1 4 x
 Vậy S 3
Câu 3. (3 điểm)
 1 3 5
 a) Cho x là số thực dương, chứng minh rằng: x 
 3x2 1 8 8
 674 674 674 1011
 b) Cho a,b,c 0 và a b c 3 . Chứng minh rằng: 
 3a2 1 3b2 1 3c2 1 2
 Lời giải 2
 1 3 5 9x3 15x2 3x 3 3 x 1 3x 1 
 a) Xét hiệu: 2 x 0x 0
 3x 1 8 8 8 3x2 1 8 3x2 1 
 1 3 5
 x . Dấu “=” xảy ra khi x = 1
 3x2 1 8 8
 b) Áp dụng kết quả câu a ta được:
 1 3 5 674 1011 1685
 a a 
 3a2 1 8 8 3a2 1 4 4
 674 1011 1685 674 1011 1685
 Tương tự thì: b ; c 
 3b2 1 4 4 3c2 1 4 4
 Cộng tương ứng: 
 674 674 674 1011 5055 1011 5055 1011
 a b c .3 
 3a2 1 3b2 1 3c2 1 4 4 4 4 2
 Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
Câu 4. (4 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn nội tiếp (tâm I ) của tam giác ABC lần lượt 
 tiếp xúc với BC , CA tại D , E . Gọi K là điểm đối xứng của D qua trong điểm 
 M của BC . Dựng đường kính DF của đường tròn I . 
 a) Chứng minh 2BD BA BC AC và A; F; K thẳng hàng.
 b) Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt tia DE tại Q. Gọi N là trung điểm của QK . 
 Chứng minh BN vuông góc với AK
 Lời giải
 A
 E
 F
 T
 O
 I
 P
 B D M K
 C
 a) Chứng minh 2BD BA BC AC và A; F; K thẳng hàng.
 Gọi T là tiếp điểm của AB với I .
 Ta có: BT BD; AT AE ; CD CE
 Mà BA BC AC BT TA BD DC AE EC 
 BD AE BD CE AE EC
 2BD (đpcm)
 Gọi P,O lần lượt là giao điểm của CI với FK; AB
 Gọi độ dài các cạnh BC, AC và AB tương ứng là a,b,c . CK BD a c b CK a c b BC CK BK a b c
 BC BC 2a CM a CK CK a c b
 Áp dụng tính chất đường phân giác ta có 
 AO b AO b bc
 AO 
 BO a AB b a b a
 CI AC b a CI a b
 IO AO c CO a b c
 Áp dụng định lý Thalet 
 CP CK a c b CP CP CI a b a c b
 . .
 CI CM a CO CI CO a b c a
 PC a b a c b a b a c b 
 PO a a b c a b a c b b a b c 
 Xét tam giác CBO có 
 BK PC AO a b c a b a c b b
 . . . 1
 CK PO AB a c b b a b c b a
 Theo định lý Menelaus A, P, K hay A, F, K thẳng hàng. 
 b) Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt tia DE tại Q. Gọi N là trung điểm của 
 QK . Chứng minh BN vuông góc với AK .
 CI là trung trực của DE .
 C· ID Q· DK 90 I·CD 
 CID : QDK (g.g)
 CD ID
 QK GK
 CD ID
 2NK DK
 CD 2ID FD BK FD
 mà CD BK 
 NK DK DK NK DK
 BKN : FDK (c.g.c)
 N· BK K· FD
 Suy ra BN vuông góc với AK .
Câu 5. (2 điểm)
 Cho tam giác ABC , AB AC . Trên cạnh AB lấy hai điểm D , E sao cho 
 AD BE và D nằm giữa A và E . Đường thẳng qua E , song song với AC cắt các 
 2
 ME CD 
 đường thẳng BC , CD thứ tự tại M , N . Chứng minh rằng: 
 MN CN 
 Lời giải
 ME BE
 Ta có ME / / AC 
 AC BA AC AD
 DEN có AC / /EN N
 EN DE
 ME ME AC BE AD AD2
 . . 
 EN AC EN BA DE AB.DE
 ME AD2 AD2
 ME EN AD2 AB.DE AD2 DE.(DE 2AD) A
 D
 2 2
 ME AD2 AD2 AD CD 
 2 2 
 MN AD DE AE AE CN 
 E
 C M B
Câu 6. (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x4 x2 y2 y 10 0
 Lời giải
 Với x, y là các số nguyên:
 2 2
 4 2 2 2 1 1 2 2
 x x y y 10 0 x y 10 x y x y 1 10
 2 2 
 2
 x y 5 x2 1 x 1
 2 
 x y 1 2 y 4
 x2 y 2 2
 x 1 x 1
 2 
 x y 1 5 y 3
 Vì (x2 y) x2 y 1 2x2 1 1 nên 
 x2 y 10 x2 4 x 2
 2 
 x y 1 1 y 6
 2 2
 x y 1 x 4 x 2
 2 y 5
 x y 1 10 
 Vậy tập các cặp số nguyên x, y là: 
 1;4 , 1;4 , 1; 3 , 1; 3 , 2;6 , 2;6 ; 2; 5 ; 2; 5 
 HẾT