Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán 9 - Phần I: Đại số - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Đăk Drô

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – TOÁN 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
PHẦN I : ĐẠI SỐ
Chương I: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
1. Định nghĩa căn bậc hai 
Với số dương a có hai căn bậc hai đối nhau. . được gọi là căn bậc hai số học của a 
Số 0 : là căn bậc hai số học của 0
x = 
* Nhận xét : Với a ≥ 0, ta có: 
2. Định lý 1 : Với hai số a, b không âm, ta có:
a < b 
3. Căn thức bậc hai 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A
* có nghĩa khi A ≥ 0
4. Hằng đẳng thức = 
Định lý : Với mọi số a, ta có 
5. Định lý 2 : Với hai số a và b không âm, ta có :
6. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rối nhân các kết quả với nhau 
* Quy tắc nhân các căn thức bậc hai : Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
* Tổng quát: Với A ≥ 0 và B ≥ 0, ta có : 
7. Định lí 3 : Với số a không âm và số b dương, ta có 
8. Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai .
* Quy tắc chia hai căn thức bậc hai : Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
 * Tổng quát: Với A ≥ 0 v B > 0, ta có :
9. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với B0, ta có 
10. Đưa thừa số vào trong dấu căn 
Với A ³ 0; B ³ 0, ta có: 
Với A < 0; B ³ 0, ta có: 
11. Khử mẫu của biểu thức
Với AB 0 , B0, ta có: 
12. Trục căn thức ở mẫu
+ Với B > 0 ta có: 
+ VớiA0 và AB2, ta có:
+ Với A0, B0 và AB, ta có:
13. Khái niệm căn bậc ba
* Định nghĩa : Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
* Chú ý : (
* Nhận xét : 
- Căn bậc ba của số dương là số dương
- Căn bậc ba của số âm là số âm
- Căn bậc ba của số 0 là chính số 0
* Tính chất căn bậc ba : 
Căn bậc ba còn có các tính chất sau 
a) a 
b) 
c) b 
Chương II : HÀM SỐ BẬC NHẤT 
1. Khái niệm hàm số 
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại luợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số
- Khi hàm số được cho bằng công thức y = f(x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó f(x) xác định. 
- Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x), y = g(x), .... 
- Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng. 
2. Đồ thị của hàm số 
 Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến 
* Tổng quát : Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R 
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R( gọi tắt là hàm số đồng biến)
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)
* Với x1, x2 bất kì thuộc R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
4. Hàm số bậc nhất
* Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax +b, trong đó a, b là các số cho trước và a 0
* Chú ý : Khi b = 0 hàm số có dạng y = ax .
* Tính chất của hàm số bậc nhất: 
Hàm số bậc nhất y = ax +b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau :
a) Đồng biến trên R khi a > 0
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0
5. Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng: 
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0; trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Chú ý : Đồ thị của hàm số y = ax + b ( b0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b; b đựợc gọi là tung độ của đường thẳng 
* Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0)
Cách 1: Xác định hai điểm bất kì của đồ thị. 
Cho x = 0 y = b, đặt A(0 ; b) 
Cho x = 1 y = a + b, đặt B(1 ; a + b) 
Vẽ đường thẳng qua điểm A và B ta được đồ thị của hàm số y = ax + b 
Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ Ox, Oy
Cho x = 0 y = b, đặt P(0 ; b) 
Cho y = 0 , đặt Q
Vẽ đường thẳng qua điểm P và Q ta được đồ thị của hàm số y = ax + b 
6. Đường thẳng song song.Đường thẳng cắt nhau 
 Hai đường thẳng d1: y = ax + b (a ¹ 0) 
 và d2: y = a’x + b’ (a’¹ 0) . 
* d1 cắt d2 Û a ¹ a’
* d1 // d2 Û a = a’ , b ¹ b’
* d1 º d2 Û a = a’ và b = b’
* Chú ý : Khi a ¹ a’, b = b’ thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b.
7 .Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a0 )
a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a0) với trục Ox.
Góc là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a0) với trục Ox.
b) Hệ số góc 
+ a > 0, là góc nhọn
+ a < 0, là góc tù
* a đuợc gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
* Chú ý: Khi b = 0 thì ta có hàm số y = ax ; a cũng là hệ số góc của đường thẳng y = ax.
* Bổ sung
Công thức tính độ dài đoạn thẳng: 
Với A(xA ; yA); B(xB ; yB) . 
Độ dài đoạn thẳng 
Chương III: 	HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn: 
- phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax + by = c
trong đó a, b là các số đã biết (a 0 hoặc b 0)
- Nếu giá trị vế trái tại x = x0 ; y = y0 bằng vế phải thì (x0, y0 ) là 1 nghiệm của phương trình
- Các khái niệm : tập nghiệm, phương trình tương đương, qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân: có thể áp dụng cho phương trình bậc nhất hai ẩn 
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 
1) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đựơc biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c
2) Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng đó chính là đồ thị của hàm số 
+ Nếu a0 và b = 0 thì đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung
+ Nếu a = 0 và b 0 thì đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành
3. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 
 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : 
 (I) 
+Nếu hai phương trình này có nghiệm chung (x0 ; y0 ) thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I)
 + Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm
4. Minh họa hình học : 
Cho hệ phương trình (I)
Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp nghiệm của hệ phương trình đuợc biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của d1 và d2
+ Nếu d1 cắt d2 Û hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất
+ Nếu d1 // d2 Û hệ (I) vô nghiệm
+ Nếu d1 º d2 Û hệ (I) có vô số nghiệm 
5. Hệ phương trình 
(I) 
d1 cắt d2 Û (I) có nghiệm duy nhất Û 
d1 // d2 Û (I) vô nghiệm Û 
d1 º d2 Û (I) vô số nghiệm Û 
6. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 
* Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phương trình đó thành hệ phương trình trong đó có một phương trình một ẩn
* Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho 
7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 
* Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
* Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
* Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
8. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
B1: Lập hệ phương trình
+Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
+Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ của các đại lượng
B2: Giải hệ phương trình
B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận. 
 Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ¹ 0).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Khái niệm hàm số bậc hai: là hàm số cho bởi công thức có dạng y = ax2(a ≠ 0)
2. Tính chất của hàm số y = ax2 (a ¹ 0) 
Hàm số y = ax2 (a ¹ 0), xác định với giá trị của x thuộc R
Tính chất: 
+ Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
+Nếu a 0
Đồ thị : 
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
3. Phương trình bậc hai
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng : ax2 + bx +c = 0
Trong đó: x là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0
4. Công thức nghiệm tổng quát
Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
 D = b2 – 4ac
· D > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt : 
 và 
· D = 0 : phương trình có nghiệm kép: 
· D < 0 : phương trình vô nghiệm 
5. Công thức nghiệm thu gọn : 
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) 
có b = 2b’ Þ b’ = , và D’ = b’2 – ac 
· Nếu D’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ; 
· Nếu D’ = 0, phương trình (1) có nghiệm kép 
x1 = x2 = - 
· Nếu D’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm 
6. Hệ thức Vi- ét : 
*) Định lí Vi-ét: 
- Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a¹0) thì : S = x1 + x2 = ; P = x1 . x2 = 
*) Cách nhẩm nghiệm: 
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có: 
a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có: 
a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = 
*) Tìm hai số biết tổng và tích: 
Tìm hai số u và v biết 
Hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai: 
x2 – Sx + P = 0
* Điều kiện để có hai số đó là : D = S2 – 4P 0
* Một số hệ thức khi áp dụng định lí Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm:
 = S2 – 2P
Tổng nghịch đảo các nghiệm:
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:
.
Bình phương của hiệu các nghiệm:
 = S2 – 4P.
Tổng lập phương các nghiệm:
 = S3 – 3PS
Chú ý: 
 + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là D ≥ 0)
 + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
* Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) , a ¹ 0 
+ Phương trình (1) có nghiệm Û D ≥ 0
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Û D > 0 hoặc a . c 0
+ Phương trình (1) vô nghiệm Û D < 0
+ Phương trình (1) có nghiệm kép Û D = 0
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0
+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 
Û 
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 
Û 
+ Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 
Û 
7. Phương trình trùng phương: 
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0 , a ¹ 0 (1)
Cách giải : Đặt t = x2 , t ³ 0
PT trở thành : at2 + bt + c = 0 (2) 
Giải phương trình (2) theo ẩn t 
Lấy giá trị t ³ 0 để thay vào t = x2 rồi tìm x. 
8. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
B1: Tìm ĐKXĐ
B2: Quy đồng và khử mẫu hai vế 
B3: Giải phương trình vừa tìm được.
B4:Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ rồi kết luận.
9. Phương trình tích : 
A(x) . B(x) = 0 Û 
10. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
B1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ của các đại lượng
B2: Giải phương trình
B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận.
Các công thức biến đổi, hằng đẳng thức
1/ 	8/ đk a,b0
2/ 	9/ đk a,b0
3/ 	10/ đk a,b0
4/ 	11/ 
5/ 	12/ 
6/ 	13/ 
7/ 	14/ 
BÀI TẬP PHẦN ĐẠI SỐ
I- CĂN THỨC BẬC HAI
Bài 1: Đưa các biểu thức sau về dạng bình phương.
a) 	b) 	c) 	d) 
HD: a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2 Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa
a) 	b) 	c) 
Bài 3 : Rút gọn biểu thức
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 
Bài 4: Rút gọn biểu thức
a) 	 b) c)
d) 	 	e)	f)
g) 	h) 	i) 
k) 	l) ( Với a > 0, b > 0)
Bài 5: Rút gọn biểu thức
a) 	 b) c) 	d) 	 
e) 	 f) g) h) i) 
Bài 6: Cho biểu thức: A = 
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.	b) Tính giá trị biểu thức A khi x = .
HD: a) ĐKXĐ là: , rút gọn biểu thức ta có: A = .
 b) x = thì A = 3
Bài 7: Cho biểu thức: B = 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.	b) Tìm x để B = 2.
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: B = .	b) B = 2 x = 16.
Bài 8: Cho biểu thức: C = 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.	b) Tìm giá trị a để C dương.
HD: a) Điều kiện: a > 0, a4, a1 , rút gọn biểu thức ta có: C = 	b) C dương khi a > 4.
Bài 9: Cho biểu thức: P = 
Tìm ĐKXĐ và rút gọn P	b) Tìm các giá trị của x để P > 0	c) Tìm x để P = 6.
Bài 10: Cho biểu thức D = 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.
Tính giá trị của D khi x = .
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: D = 	b) D = 
Bài 11: Cho biểu thức E = 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E.	b) Tìm x để E = -1.
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: E = .	b) x = 4.
Bài 12: Cho biểu thức:	A =
	a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm giá trị của A khi x = 3 +;
	c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên ?
HD: a) ĐKXĐ: , rút gọn biểu thức ta có: A = 
b) x = 3+ A = 
 c) Biểu thức A nguyên khi: x = {0; 1; 9; 16; 36} 
Bài 13: Cho biểu thức: Q=
a. Rút gọn Q.	b. Tìm giá trị của a để Q dương.
Bài 14: Cho biểu thức: A = 
 a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.	b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
 	c, Tìm các giá trị của x Z để A Z.
II - HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 15: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất, hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số nào là hàm số đồng biến, hàm số nào là hàm số nghịch biến ?
a) y = 3 – 0,5x	b) y = - 1,5x 	c) y = 5 – 2x2 	d) y = ()x + 1
e) y = 	f) y + g) y = - 	h) y = +1	i) y = 
Bài 16: a) Cho hàm số y = f(x) = x + 5 với x Î R. Chứng minh hàm số đồng biến trên R.
 b) Cho hàm số y = f(x) = ()x + 1 với x Î R. Chứng minh hàm số nghịch biến trên R.
Bài 17: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x +5. Xác định m để hàm số:
 a) đồng biến.	b) nghịch biến.
Bài 18: Cho ba hàm số y = x (d1); y = 2x (d2); y = - x + 3 (d3)
a) Vẽ ba đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1 và d2 tại hai điểm A và B. Tìm tọa của điểm A và B. Tính diện tích và chu vi tam giác OAB.
Bài 19: Cho hàm số y = (a – 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
Bài 20: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a biết:
a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x 
b) Đồ thị hàm số qua điểm A 
Bài 21: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế
	Ví dụ: Giải hệ 
	Giải: 
- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số
	Ví dụ: Giải hệ 
- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ
Bài 22 : Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	
f) 	g) 	h) i) 	
k) 	l) 	m) n) o) 	
IV - HÀM SỐ y = ax2 (a0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A – 	QUAN HỆ GIỮA PARABOL y = ax2 (a 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n (m 0)
1/ KIẾN THỨC BỔ SUNG
a) Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức 
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức 
b) Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình 
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau	
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2 (a0) và (d): y = mx + n (m 0):
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 
cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0 pt có nghiệm kép (d) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0 pt vô nghiệm (d) và (P) không giao nhau.
Bài 23: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (d).
 Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD:	2. PT trình hoành độ giao điểm: x2 = – 2x + x2 + 2x - = 0. 
Tọa độ giao điểm: (; ) và (1 ; ).
Bài 24: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (d).
Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 	2. PT trình hoành độ giao điểm: x2 = x + x2 - x - = 0. 
Tọa độ giao điểm: () và ( ).	
Bài 25: Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x2 và y = - x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số này.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị : (P): y = ax2 (a0) và y = mx + n (m 0) (Dm) theo tham số m:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): 
cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Lập (hoặc) của pt hoành độ giao điểm.
Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m.
Bài 26: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).
Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
(Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
(Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
(Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
	2a). m = .
	2b) = 1 + 2m > 0 .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ).
Bài 27: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng .
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 	1. Tọa độ giao điểm: ( ;) và (1 ; – 2).
	2a). m = – 2.
	2b) m < .
	2c) m = tọa độ tiếp điểm ().
Bài 28: Cho hàm số y = ax2 
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1
b) Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 3 và của hàm số y = ax2 với a vừa tìm được trong câu a) trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy xác tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.
B – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
a + b + c = 0 pt (1) có 2 nghiệm:.
a – b + c = 0 pt (1) có 2 nghiệm:.
b) Giải với : 
Nếu b = 2b’ b’ == (b’)2 – ac.
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
c) Giải với :
	Tính : = b2 – 4ac.
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
Bài 29: Giải các phương trình sau:
1) 7x2 – 2x + 3 = 0	 2) 5x2 +2x + 2 = 0	3) x2 + 7x + = 0	 	4) 1,7x2 – 1,2x – 2,1 = 0
5) 2x2 – 7x + 3 = 0	 6) 3x2 + 5x + 2 = 0	7) 6x2 + x – 5 = 0	 	8) 4x2 + 4x + 1 = 0
9) x2 – 49x – 50 = 0 10) x2 – 7x + 12 = 0 	11) x2 + 7x + 12 = 0	 	12) 3x2 – 4x + 4 = 0
13) 3x2 – 7x - 10 = 0 14) x2 – 3x + 2 = 0 	15) x2 – 4x – 5 = 0 	16) 3x2 – 2x – 3 = 0
Bài 30: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 	2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + )x + = 0 ;	4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + 1 + 3 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;	6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ;	8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
2. Một số hệ thức khi áp dụng định lí Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm: = S2 – 2P.
Tổng nghịch đảo các nghiệm: .
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: .
Bình phương của hiệu các nghiệm: = S2 – 4P.
Tổng lập phương các nghiệm: = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) .	b).	c) 	 d) 
	Giải:
Phương trình có = 1 > 0 pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): .
	a) = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
	b) = .
	c) = 122 – 4.35 = 4.
d) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
Bài 31: Cho phương trình: x2 - 20x + 8 = 0 (1). Không giải phương trình hãy tính:
x1 + x2 	b) x1 . x2
x1 , x2 là nghiệm của phương trình
Bài 32: Cho phương trình: x2 - 5x - 36 = 0 ; với x1; x2 là hai nghiệm số của nó. Tính:
x12 + x22 	b) x12 - x22 	c) x13 + x23
3. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (; hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 
 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
4. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương) 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
6. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình có nghiệm khi 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
	* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
7. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
Bài 33: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 – 2(m - 1)x + m2 -1 = 0. Hãy tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình 2x2 + mx – 5 = 0, tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 35: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình nhận – 1 làm một nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 36: Cho phương trình x2 – 2mx + (2m – 3) = 0
a) Giải phương trình với m = - 1 
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. 
Bài 37: Cho phương trình: x2 - 2mx + 4m -3 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
b) Định m để phương trình có nghiệm x1= 4. Tính nghiệm x2.
Bài 38: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 
	Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
	2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, .
	3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài 39: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0
a) Giải phương trình với m = 0
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
c) Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
 a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
 b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 41: Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
 a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
 b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
Bài 42: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x + m + 2 = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : =
Bài 43: Cho phương trình: x2+ mx + 20 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 41 tìm m và các nghiệm của phương trình trên.
Bài 44: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
HD:	1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 
 Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
	2. = (m – 1)2 0, .
	3.
ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 |m – 1| > 0 .
Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 PT trùng phương: Có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)
 PP giải: Đặt x2 = t (t 0) đưa PT về ẩn t: at2 + bt + c = 0 
 Ví dụ: Giải pt: x4 - 13x2 + 36 = 0 
Đặt x2 = t (t 0). Ta được pt: t2 – 13t + 36 = 0
 = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nên = 5
t1 = = 9 (TMĐK);	t2 = = 4 (TMĐK)
+) Với t1 = 9 x2 = 9 x = 3
+) Với t2 = 4 x2 = 4 x = 2
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3
Bài 45: Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai)
PT trùng phương
a. x4 – 9x2 + 8 = 0	 b. 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 c. x4 – 5x2 + 4 = 0	 d. 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
PT chứa ẩn ở mẫu
e. f. 	g. 	 
PT bậc cao
 h. 	i. x3 – 7x2 + 6 = 0 	 	j. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0 	
k. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 	l. 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0 	m. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 
Giải
m) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
 (1) Û (x2 - 2)(x + 3) = 0 Û (x + )(x - )(x + 3) = 0
 Û x = -; x = ; x = - 3 
 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -; x = ; x = - 3
b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) Û 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t ³ 0) thì (3) Û 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét D = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 Þ = 23 Þ PT có 2 nghiệm t1 =(thoả mãn t ³ 0) ; 
 t2 = (loại)
* Với t = Û x2 = Û x = 
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 = 
 l) Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2 + x) – 1 = 0 (4)
 Đặt x2+x = t . Khi đó (4) Û 3t2 – 2t – 1 = 0
 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 
 t1 = 1Û x2+x = 1Û x2 + x – 1 = 0 
 D1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 =
 t2 = Û x2+x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
 D2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm 
 Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = ; x2 =
TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH
Bài 46: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Do u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có : D’ = (- 21)2- 441 = 0 ; Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
Bài 47: Tìm hai số u và v , biết: 
 a) u + v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 
 c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 	e) 
Bài 48: Giải các hệ phương trình sau:
a) b) 
Bài 49: Tính các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 30 m và diện tích bằng 54 m2
V - GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình ( hệ phương trình )
Bước 1 : Lập hệ phương trình (phương trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
3) Lập hệ phương trình, (phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các lượng.
Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình)
Bước 3 : Kết luận bài toán. 
B. Bài toán
1/ DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT-LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG
Bài 50: Hai vòi nước cùng chảy đầy một bể không có nước trong 3h 45phút. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4h.
Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
 Gọi thời gian vòi sau chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1 giờ vòi đầu chảy được ( bể ) 
1 giờ vòi sau chảy được ( bể ) 
1 giờ hai vòi chảy được + ( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy được 1: = ( bể ) ( 2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình + = 
Mặt khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y - x = 4
Vậy ta có hệ phương trình 
Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn 
Hệ (b) bị loại vì x < 0 
Vậy: Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h 
 Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h 
Bài 51: Hai đội công nhân làm một đoạn đường. Đội 1 làm xong một nửa đoạn đường thì đội 2 đến làm