Đề kiểm tra học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Lan Vu (Có đáp án)

 TRƯỜNG THCS LAI VU ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2019-2020
 ( Thời gian làm bài : 150 phỳt) 
Cõu 1( 2,0 điểm)
 1) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : (x2 + 4x + 6)(x2 + 6x + 6)- 3x2
 2) Cho a, b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 - a2b+ ab2 - 6b3 = 0 . Tớnh giỏ trị của 
 a4 - 4b4
 biểu thức B =
 b4 - 4a4
Cõu 2( 2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh
 3
 ổx- 3ử 3
 1) ỗ ữ - (x- 3) = 16
 ốỗx- 2ứữ
 3 13 6
 2) + =
 3x2 - 4x + 1 3x2 + 2x + 1 x
Cõu 3( 2,0 điểm)
 1) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 20y2 - 6xy = 150- 15x
 2) Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số 2 p2 - 1; 2 p2 + 3; 3p2 + 4 đều là số nguyờn tố 
Cõu 4( 3,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là một điểm thuộc cạnh BC, qua M kẻ cỏc đường thẳng song 
song với AC và AB, chỳng cắt AB và AC tương ứng tại N và P.
 1) Gọi O là trung điểm của NP. Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng.
 MB 1 QB
 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và = . Tớnh tỉ số .
 MC 2 QC
 3) Tỡm vị trớ của M để diện tớch tam giỏc MNP cú giỏ trị lớn nhất.
Cõu 5( 1,0 điểm)
Cho 0 Ê a; b; c Ê 2 thỏa món điều kiện a + b + c = 3 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
 A = a3 + b3 + c3 .
 Hết . TRƯỜNG THCS LAI VU HƯỚNG DẪN, BIỂU DIỄN CHẤM BÀI
 Ngày 19.9.2019 (lần 2)
CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM
 A x2 5x 6 x x2 5x 6 x 3x2 0,25
 Đặt y x2 5x 6
 A y x y x 3x2 y2 4x2 y 2x y 2x 0,25
 1 x2 5x 6 2x x2 5x 6 2x 
 0,25
 x2 3x 6 x2 7x 6 
 x2 3x 6 x 1 x 6 0,25
 1 a3 a2b ab2 6b3 0 a 2b a2 ab 3b2 0 * 0,25
 Vỡ a b 0 a2 ab 3b2 0 nờn từ (*) ta cú a 2b 0,25
 2 a4 4b4 16b4 4b4 0,25
 Vậy biểu thức B 
 b4 4a4 b4 64b4
 12b4 4
 B 
 634 21 0,25
 (ĐKXĐ: x 2 )
 3 3
 x 3 x 3 1 0,25
 PT x 3 3 1 16 
 x 2 x 2 x 2 
 3 2
 x 3 2 x 3 2 
 3 16 
 x 2 x 2 0,25
 x 3 2
 Đặt t ta được t3 3t 2 16 0 * 
 x 2
 3 2 2
 2 1 * t 4t t 16 0 t2 t 4 t 4 t 4 0 
 2
 t 4 t t 4 0 0,25
 Lớ do để cú t 4 
 x 3 2
 Với t 4thỡ 4
 x 2 0,25
 Hay x2 6x 9 4x 8 x 1 2 0 x 1 TM 
 Vậy x 1 
 2 13 6 2 0,25
 2 2 x 1; x ; x 0 
 3x 5x 2 3x x 2 x 3 2 3
 6 
 2 2
 3x 5 3x 1 
 2 x x
 2 0,25
 Đặt 3x 2 a ta cú phương trỡnh:
 x
 2 13
 6 a 3 
 a 3 a 3
 2 a 3 13 a 3 6 a 3 a 3 
 2a 2 5a 7 0
 a 1 2a 7 0
 0,25 
 a 1 tm 
 7
 a tm 
 2
 2
 Với a 1 3x - 2 + 1
 x
 3x2 x 2 0 vụ nghiệm
 7 2 7
 Với a 3x - 2 + 
 2 x 2
 4
 x tm 
 2 3
 6x 11x 4 0 
 1 0,25 
 x tm 
 2
 1 4
 Vậy nghiệm của phương trỡnh là x ; x 
 2 3
3 1 Ta cú : 150 15x 20y2 6xy 6xy 15x 20y2 150
 2
 3x 2y 5 5 4y 25 25 0,25
 2y 5 10y 25 3x 25
 Xột 6 trường hợp sau
 2y 5 1 x 10 
 +) tm 
 10y 25 3x 25 y 3
 0,25 
 2y 5 25 x 58
 +) tm 
 10y 25 3x 1 y 15
 70
 2y 5 1 x 
 + ) 3 ( loại )
 10y 25 3x 25
 y 2
 y 10 0,25 
 2y 5 25 
 74 ( loại)
 10y 25 3x 1 x 
 3
 70
 2y 5 5 x 
 +) 3 (loại) 0,25
 10y 25 3x 5
 y 5 2 Vỡ p2 là số chớnh phương nờn p2 chia cho 7 cú số dư là 0;1;2;4 
 +) Nếu p2 7 thỡ p7 p 7 
 Khi đú 2 p2 - 1= 2.72 - 1= 97 là số nguyờn tố
 2 p2 + 3 = 2.72 + 3 = 101 là số nguyờn tố
 3p2 + 4 = 3.72 + 4 = 151là số nguyờn tố
 +) Nếu p2 chia 7 dư 1 thỡ 3p2 4 7 Trỏi với đề bài
 +) Nếu p2 chia 7 dư 2 thỡ 3p2 1 7 Trỏi với đề bài
 +) Nếu p2 chia 7 dư 4 thỡ 2 p2 1 7 Trỏi với đề bài
 Vậy p 7 
a
 A
 P
 O
 N
 Q C
 B M
 MP / / AN(gt)
 Xột tứ giỏc APMN cú:  tứ giỏc APMN là hỡnh 
 AP / /MN(gt)
 bỡnh hành cú O là trung điểm của đường chộo NP nờn O cũng là trung 
 điểm của đường chộo AM . Vậy 3 điểm A, O, M thẳng hàng.
b Theo gt:
 MB 1 BM BN MN 1
 = ị = = =
 MC 2 BC BA AC 3
 AP 1 AP 1
 ị = ị =
 AC 3 PC 2
 QM MN 1
 = =
 QC PC 2
 ị QM = MC
 MC QB 1
 Mà BM MB QB 
 2 QC 4
c) c)( 1 điểm)
 Kẻ đường thẳng vuụng gúc với MN và AC tại H và K 
 Ta cú 
 1
 S S 
 MNP 2 ANMP SANMP lớn nhất khi SANMP lớn nhất 
 Ta cú SANMP MN.HK
 1
 S BK.AC
 ABC 2
 SAMNP 2MN.HK MN HK
 2. 
 SABC BK.AC AC BK
 Đặt BM = x, MC = y 
 MN x HK y
 ; 
 AC x y BK x y
 SAMNP 2xy 2xy 1
 2 
 SABC (x y) 4xy 2
 1
 S S
 AMNP 2 ABC
 1
 S S
 MNP 4 ABC
 1
 S lớn nhất bằng S khi x = y hay M là trung điểm của BC
 NMP 4 ABC
5 Bài 5: Vai trũ của a,b,c là như nhau, giả sử a b c 
 Ta cú 3a a b c 3 a 1 
 Do 2 a 1 (a 1)(a 2) 0 a2 3a 2 0 
 M a3 b3 c3 a3 b3 c3 3b2c 3bc2 a3 (b c)3
 a3 (3 a)3 9a2 27a 27 9(a2 3a 2) 9 9
 Vậy giỏ trị lớn nhất của M là 9 khi (a,b,c)= (2;1;0) và cỏc hoỏn vị vũng của 
 chỳng