Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hoài Nhơn (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (4,0 điểm)
 2 3 6 8 4
 a) Thu gọn biểu thức: A .
 2 3 4
 2
 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức 
 1 1
 2 1 11 2 1 1
 2018
 B 1 2x x2 x3 x4 .
 c) Cho x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 2 2 . Tính giá trị của biểu 
 thức: C x3 y3 3 x y 2018 .
Câu 2: (4,0 điểm)
 a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính 
 số đó.
 1 1 1 1 
 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3....2017.2018. 1 ... 
 2 3 2017 2018 
 chia hết cho 2019.
Câu 3: (5,0 điểm)
 3.1. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
 a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 .
 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 .
 b) Chứng minh rằng: Nếu c a , c b thì c a b .
 3.2. Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x2019 y2019 z2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 
 biểu thức: E x2 y2 z2 . 
Câu 4: (4,0 điểm)
 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn 
 AM AN
 thẳng AB , AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng:
 MB NC
 a) MN 2 x2 y2 xy .
 b) MN a x y .
 c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Câu 5: (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung điểm của 
 cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên 
 KM
 cạnh BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM OK và AM 30 cm.
 4
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HOÀI NHƠN NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (4,0 điểm)
 2 3 6 8 4
 a) Thu gọn biểu thức: A .
 2 3 4
 2
 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức 
 1 1
 2 1 11 2 1 1
 2018
 B 1 2x x2 x3 x4 .
 c) Cho x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 2 2 . Tính giá trị của biểu 
 thức:
 C x3 y3 3 x y 2018 .
 Lời giải
 2 3 6 8 4
 a) Ta có A 
 2 3 4
 2 3 4 2 2 3 4 
 1 2 .
 2 3 4
 2 2
 b) Ta có: x 2 . Thay x 2 
 1 1 2
 2 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 
 vào biểu thức, ta được:
 2 3 4 2018 2018
 B 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2018 1.
 c) Ta có :
 3
 x3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3x 3 2 2 6 3x .
 3
 y3 3 17 12 2 3 17 2 2 17 12 2 3y 17 12 2 34 3y .
 Cộng vế theo vế ta được: x3 y3 40 3x 3y x3 y3 3 x y 2018 2058 .
 Vậy C 2058 khi x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 2 2 .
Câu 2: (4,0 điểm)
 a) Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính 
 số đó.
 1 1 1 1 
 b) Chứng minh rằng số tự nhiên A 1.2.3....2017.2018. 1 ... 
 2 3 2017 2018 
 chia hết cho 2019.
 Lời giải
 a) Gọi số cần tìm là ab , theo đề, ta có 10a b kab . (Trong đó: 1 a , b 9 và a , b , 
 k ¢ ). 10 10 10 10 1
Suy ra b . Vì 1 b 9 1 9 k 10 .
 ka 1 1 1
 k k 9 a
 a a a
 10 1
 k 10
 9 a 1 5 5 
Từ k ;2; ;5;10 . 
 1 a 3 2 
 10 : k ¢
 a
 a 1
 a 3
 1 5 a 3k 5 3 8 
Nếu k k (không thỏa) hoặc k 2 (thỏa) ab 36 .
 a 3 b 6 3 
 b 6
 b 6
 a 1
 1 a k 2 1 
Nếu k 2 k 3 (thỏa) ab 15 .
 a b 5 
 b 5
 a 1
 a 2
 1 5 7 
Nếu k 2 k (không thỏa) hoặc k 3 (thỏa) ab 24 .
 a 2 2 
 b 4
 b 4
 a 1
 1 a k 5 1 
Nếu k 5 k 6 (thỏa) ab 12 .
 a b 2 
 b 2
 a 1
 1 a k 10 1 
Nếu k 10 k 11 (thỏa) ab 11.
 a b 1 
 b 1
Vậy ab 11;12;15;24;36 .
b) Ta có
 1 1 1 
 B 1.2.3.....n. 1 ... * là số tự nhiên. Thật vậy:
 2 3 n 
Với n 1 thì B 1 ¥ suy ra * đúng.
Với n 2 thì B 3 ¥ suy ra * đúng.
 1 1 1 
Giả sử * đúng khi n k , nghĩa là B 1.2.3.....k. 1 ... ¥ .
 2 3 k 
Cần chứng minh * đúng khi n k 1, nghĩa là 
 1 1 1 
 B 1.2.3..... k 1 . 1 ... .
 ¥
 2 3 k 1 
Ta có: 
 1 1 1 1 1 1 
 B 1.2.3..... k 1 . 1 ... 1.2.3..... 1 ... k 1 1.2.3.....k
 2 3 k 1 2 3 k 1 1 1 
 1.2.3..... 1 ... ¥
 2 3 k 
 Có k 1 ¥ B ¥ .
 1.2.3.....k ¥
 1 1 1 
 Vậy 1.2.3.....n. 1 ... là số tự nhiên.
 2 3 n 
 1 1 1 1 1 1 
 Suy ra, với n 2k thì 1.2.3.....2k 1 ... và 1.2.3.....k 1 ... là 
 2 3 2k 2 3 k 
 các số tự nhiên.
 1 1 1 
 Suy ra ... k 1 k 2 .....2k cũng là các số tự nhiên.
 k 1 k 2 2k 
 1 1 
 Áp dụng các chứng minh ta có: 1.2.....1009. 1 ... và 
 2 1009 
 1 1 1 
 ... .1010.1011.....2018 cũng là các số tự nhiên.
 1010 1011 2018 
 10113
 Ta có 1010.1011.....1342.....20182019
 1342673
 1 1 
 1.2.....1009. 1 ... .1010.1011....1342.....20182019 .
 2 1009 
 33
 Và 1.2.3....673.....10092019 
 673673
 1 1 1 
 1.2.....1009. ... .1010.1011.....2018: 2019 .
 1010 1011 2018 
 1 1 1 1 
 Vậy số tự nhiên A 1.2.3....2017.2018. 1 ... chia hết cho 2019.
 2 3 2017 2018 
Câu 3: (5,0 điểm)
 3.1. Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
 a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 .
 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9 .
 b) Chứng minh rằng: Nếu c a , c b thì c a b .
 3.2. Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x2019 y2019 z2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 
 biểu thức: E x2 y2 z2 .
 Lời giải
 a) Tính a b c , biết rằng ab bc ca 9
 Từ 
 a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 4 ab bc ca 
 .
 Mà ab bc ca 9 nên a b c 2 36 a,b,c 0 a b c 6 .
 b) Chứng minh rằng: Nếu c a , c b thì c a b .
 Lời giải Ta có a2 b2 c2 a b 2 b c 2 c a 2 c a b 2 4ab .
Không mất tính tổng quát, giả sử c a b . Khi đó, ta có:
 2 c a b 2b 1 
 c a b 4ab 4b2 .
 c a b 2b 2 
 1 c a b 0 c a b 
 2 c a b 2b c a b 0 * , mà c a 0 suy ra * vô lí.
Vậy nếu c a , c b thì c a b .
3.2. Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x2019 y2019 z2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức: E x2 y2 z2 .
 Lời giải
Cách 1.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:
 2019 2019 2
 x x 1 1 1 ... 1 2019x . Dấu “ ” xảy ra khi x 1. 
 2017 so 1
 2019 2019 2
 y y 1 1 1 ... 1 2019y . Dấu “ ” xảy ra khi y 1.
 2017 so 1
 2019 2019 2
 z z 1 1 1 ... 1 2019z . Dấu “ ” xảy ra khi z 1.
 2017 so 1
Khi đó: 
 2019 2019 2019
6 x2019 y2019 z2019 6051 2019 x2 y2 z2 x y  z  3 x2 y2 z2 3.
Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
Cách 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:
 2019 3 2019 3
 x 1 1 1 ... 1 673x ; y 1 1 1 ... 1 673y và 
 672 so 1 672 so 1
 2019 3
 z 1 1 1 ... 1 673z
 672 so 1
 2019 2019
 x 1 1 1 ... 1 2019x ; y 1 1 1 ... 1 2019y và 
 2018 so 1 2018 so 1
 2019
 z 1 1 1 ... 1 2019z
 2018 so 1
Khi đó:
 2019 2019 2019
+ x2019 y2019 z2019 2016 673 x3 y3 z3 x y  z  3 x3 y3 z3 3 .
Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 2019 2019 2019
+ x2019 y2019 z2019 6054 2019 x y z x y  z  3 x y z 3.
Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 Cosi
Suy ra 6 x3 x y3 y z3 z 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3.
 x3 x
 3
Dấu “ ” xảy ra khi y y x y z 1.
 3
 z z Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
 Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER)
 Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có
 2019
 x2019 y2019 z2019 x2019 y2019 z2019 32017 x2 y2 z2 
 2019 2019 2019 2019
 x  y  z  3 32019 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 .
 Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn 
 AM AN
 thẳng AB , AC sao cho 1. Đặt AM x và AN y . Chứng minh rằng:
 MB NC
 a) MN 2 x2 y2 xy .
 b) MN a x y .
 c) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
 Lời giải 
 AM AN AN a
 1 1 x 
 AM AN MB NC NC x a x 2
 Vì 1 x y a .
 MB NC AN AM AM y a y a
 1 1 y 
 NC MB MB 2
 Không mất tính tổng quát ta giả giử AM AN . Kẻ MH  AC như hình vẽ bên.
 AM
 Khi đó, ta có AH AM.cos60 A
 2
 a). Áp dụng định lyd PYTAGO, ta có: H
 M I
 MN 2 MH 2 HN 2 AM 2 AH 2 AN AH 2 N
 K E
 AM 2 AN 2 2AN.AH AM 2 AN 2 AM.AN x2 y2 xy 
 Vậy MN 2 x2 y2 xy x y 2 3xy 1 D
 b). Theo đề ta có: B C
 AM AN AB AC
 1 1 1 1 
 MB NC MB NC
 a a
 3 a2 a x y a2 3a2 3a x y 3xy a2 2a x y 3xy 2 
 a x a y
 Thay 2 vào 1 ta được: 
 MN 2 x y 2 2a x y a2 x y 2 2a x y a2 a x y 2 
 Vậy MN a x y a x y (vì x y a ).
 c). Gọi K , E lần lượt là trung điểm của AB , AC .
 D là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
 a 3 a
 Kẻ DI  MN I MN . Khi đó ta dễ dàng tính được: DK DE ; MK x ; 
 6 2
 a
 NE y .
 2 a a
 Ta có KM NE x y MN và 2 ax ay 3xy a a x y . 
 2 2
 KD.MK KE.NE AH.AN
 S 2S S S S DK.AK 
 DMN AKD MKD NED AMN 2 2 2
 DK.MN AH.AN a2 3 a 3 x 3y
 DK.AK a x y 
 2 4 12 12 4
 3 3 a 3 DK.MN
 a2 a a x y 3xy ay ay 3xy a x y .
 12 12 12 2
 DI.MN DK.MN
 Do đó DI DK . Suy ra DI là bán kính đường tròn nội tiếp, mà 
 2 2
 MN  DI MN là tiếp tuyến của đường tròn.
Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O , gọi M là trung 
điểm của cạnh BC , H là trực tâm của tam giác ABC và K là hình chiếu vuông góc của A trên 
 KM
cạnh BC . Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM OK và AM 30 cm. 
 4
 Lời giải
 Gọi D là trung điểm của AC .
 Ta chứng minh được AHB# MOD (ba cặp cạnh song song) A
 AH AB
 2 HG 2OG . D
 OM MD
 H G O
 Gọi G là giao điểm của AM và OH . Ta chứng minh được C
 B M
 AG HG AH K
 2 AH 2OM .
 GM GO OM
 Dễ dàng chứng minh được tứ giác OMKH là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc 
 vuông).
 HO KM HO 4OM , suy ra 3OG 4OM .
 Ap dụng định lý PYTAGO trong tam giác vuông OGM , ta có:
 16 AM 2
 OM 2 OG2 GM 2 OM 2 OM 2 5OM AM OM 6 cm.
 9 9
 Khi đó OH 24 cm; AH 12 cm; AK 18 cm.
 Ta có OC OA OH 2 AH 2 12 5 , từ đó tính được 
 BC 2MC 2 OC 2 OM 2 12 9 
 AK.BC 18.112 19
 Vậy S 108 19 (cm 2 ).
 ABC 2 2