Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Như Thanh (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019
 x 2 x 1 x 1
Câu 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức: 
 A :
 x x 1 x x 1 1 2
 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A .
 2. Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2.
 3 2 1
 3. Tính giá trị của biểu thức A tại x 3 3 2 1 .3 .
 3
Câu 2:(2,0 điểm)
 4x 2 3
 1. Giải phương trình ẩn x sau: 0 .
 x 1 x x2 1
 2. Giải hệ phương trình 2 ẩn x , y :
 3 2 2 3 2 2
 x xy x 2x y yx y 2y
 .
 2
 5 x y 4y x 1 y x 2y 1
Câu 3:(2,0 điểm) 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 4y2 xy xy 2x 12 8 x 2 .
 2. Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các 
 số chính phương liên tiếp.
Câu 4:(2,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R ( R 0 , R là hằng số). Gọi Ax , 
 By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng 
 bờ là đường thẳng AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp 
 tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt các tia Ax , By lần lượt tại C , D . Gọi I là 
 trung điểm của đoạn thẳng CD .
 1. Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD 2OI và OI vuông góc với AB . 
 2. Chứng minh AC.BD R2 .
 3. Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó hãy chứng minh 
 diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất.
Câu 5:(2,0 điểm) 
 Với các số thực dương a, b , c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a2 b2 c2 1
 P 2018 .
 2 2 2
 b c a 3 a b c 
 ---HẾT--- LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH - NĂM 2019
 x 2 x 1 x 1
Câu 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức: 
 A :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và rút gọn biểu thức A .
 2. Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 2.
 3 2 1
 3. Tính giá trị của biểu thức A tại x 3 3 2 1 .3 .
 3
 Lời giải
 1. ĐKXĐ: x 0 ; x 1.
 x 2 x 1 x 1
 A :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 x 2 x x 1 x x 1 x 1
 : 
 x 1 x x 1 2
 x 2 x x x x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2. x 2 x 1 
 2
 x 1 . x x 1 
 2
 2. x 1 
 2
 x 1 . x x 1 
 2
 .
 x x 1
 2
 Vậy A với x 0 ; x 1.
 x x 1
 2
 2. Ta có A 2 2 
 x x 1
 x x 1 1 x x 1 0 2 x 0 x 0 t / m (vì x 1 0
 với x )
 Vậy x 0 thì A 2 .
 3 2 1
 3. Ta có : x 3 3 2 1 .3
 3
 3 2 1
 x 3 3 2 1 .3 
 3
 3
 3 3 2 1
 x 3 3 2 1 .
 3 3
 3 2 1
 x 3 3 33 2 3 2 1 .
 3
 x 3 3 1 3 2 3 2 1 . 3 2 1
 x 3 3 3 2 1 3 2 3 2 1 . 3 2 1 
 x 3 3 3 2 1 3 2 3 22 1 
 x 3 3 1 x 3 1
 x 4 t / m 
 2 2
 Thay x 4 thỏa mãn ĐKXĐ vào A ta được A .
 4 4 1 7
 2 2 3 2 1
 Vậy A với x 3 3 2 1 .3 . 
 4 4 1 7 3
Câu 2:(2,0 điểm)
 4x 2 3
 1. Giải phương trình ẩn x sau: 0 .
 x 1 x x2 1
 2. Giải hệ phương trình 2 ẩn x , y :
 3 2 2 3 2 2
 x xy x 2x y yx y 2y
 .
 2
 5 x y 4y x 1 y x 2y 1
 Lời giải
 1. ĐKXĐ: x 0 ; x 1.
 4x 2 3 4x2 x 1 2 x 1 x 1 3x
 0 0
 x 1 x x2 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 
 4x3 4x2 2x2 2 3x 0
 4x3 6x2 3x 2 0
 3 3 2 3 1 5
 4 x x x 0
 2 4 8 2
 3 
 1 5
 4 x 
 2 2
 3
 1 5
 x 
 2 8
 1 3 5
 x 
 2 2
 3 5 1
 x (thỏa mãn ĐKXĐ)
 2
 3 5 1
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x .
 2 x 5
 2. ĐKXĐ: y 0 
 4y x 1 0
 3 2 2 3 2 2
 x xy x 2x y yx y 2y (1)
 2
 5 x y 4y x 1 y x 2y 1 (2)
 Ta có phương trình (1) x3 y3 xy2 yx2 x2 y2 2x 2y 0 
 x y x2 xy y2 xy x y x y x y 2 x y 0 
 x y x2 y2 x y 2 0 
 2 2
 1 1 3 
 x y x y 0
 2 2 2 
 2 2
 1 1 3
 x y 0 vì x y 0 x, y
 2 2 2
 x y
 Thay x y vào phương trình (2) ta được
 5 y y 3y 1 y2 3y 1 
 5 y 2 y 1 3y 1 2 y2 3y 4 
 y 1 y 1 3 y 1 
 y 1 y 4 
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 y 1 y 1 3 y 1 
 y 1 y 4 0 
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 1 1 3 
 y 1 y 4 0
 5 y 2 y 1 3y 1 2 
 1 1 3
 y 1 0 (vì y 4 0 y 0 )
 5 y 2 y 1 3y 1 2
 y 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 1;1 .
Câu 3:(2,0 điểm) 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 4y2 xy xy 2x 12 8 x 2 .
 2. Tìm số tự nhiên lẻ n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các 
 số chính phương liên tiếp.
 Lời giải
 1. Phương trình 2x2 4y2 xy xy 2x 12 8 x 2 
 2x2 4y2 x2 y2 2x2 y 12xy 8x 16 0 
 x2 x2 y2 16 2x2 y 8xy 8x x2 4xy 4y2 0 
 x xy 4 2 x 2y 2 0 x 2y x 2y
 2
 x xy 4 0 2y 2y 4 0
 x 2y
 x 2; y 1
 y 1 (thỏa mãn)
 x 4; y 2
 y 2
 Vậy các cặp số 2;1 và 4;2 là nghiệm của phương trình đã cho.
 2. 
 2 2
 +) Xét n2 a 1 a2 a 1 , a 1 (Tổng của 3 số chính phương)
 3a2 2 (Loại vì số dư của số chính phương khi chia cho 3 không thể là 2).
 2 2 2 2
 +) Xét n2 a 2 a 1 a2 a 1 a 2 (Tổng của 5 số chính phương)
 5a2 2 12 22 
 =5 a2 2 .
 n2 52 a2 2 5 
 Mà a2 có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 5 nên a2 2 5 .
 2 2 2 2
 +) Xét n2 a 3 a 2 a 1 ... a 3 (Tổng của 7 số chính 
 phương)
 7 a2 4 
 n2 72 a2 47 (Không xảy ra)
 2 2 2 2
 +) Xét n2 a 4 a 3 a 2 ... a 4 (Tổng của 9 số chính 
 phương)
 9a2 2.30 3 3a2 20 
 n2 32 (Vô lí)
 2 2 2 2
 +) Xét n2 a 5 a 4 a 3 ... a 5 (Tổng của 11 số chính 
 phương)
 11 a2 10 a 5 
 n2 112 a2 1011
 a 1 mod11 
 a 11k 1 , a 5 
 Thử với a 9,12,20,23 chỉ có a 23 thỏa mãn
 n 77 là giá trị cần tìm.
Câu 4:(2,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R ( R 0 , R là hằng số). Gọi Ax , 
 By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp 
tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt các tia Ax , By lần lượt tại C , D . Gọi I là 
trung điểm của đoạn thẳng CD .
1. Tính số đo góc COD ; Chứng minh CD 2OI và OI vuông góc với AB . 
2. Chứng minh AC.BD R2 .
3. Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất, khi đó hãy chứng minh 
diện tích của hình thang này cũng nhỏ nhất.
 Lời giải
1. Hai tiếp tuyến CM , CA của O cắt nhau tại C OC là tia phân giác của M· OA .
 Tương tự ta cũng có OD là tia phân giác của M· OB 
 Mà M· OA M· OB 2 C· OM D· OM 180 C· OD C· OM D· OM 90.
 +) Xét COD có C· OD 90 COD vuông tại O có I là trung điểm của CD 
 OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD CD 2OI .
 +) Xét tứ giác ABDC có CA//DB (cùng vuông góc với AB )
 ABDC là hình thang.
 Ta lại có O và I lần lượt là trung điểm của AB , CD 
 OI là đường trung bình của hình thang ABDC
 OI //CA OI  AB . ( vì CA  AB gt ) 
2. Hai tiếp tuyến CM , CA của O cắt nhau tại C AC MC (1)
 Chứng minh tương tự ta có BD MD (2)
 Xét COD vuông tại O có OM  CD 
 OM 2 MC.MD (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) 
 MC.MD R2 (3)
 Từ (1), (2), (3) suy ra AC.BD R2 .
3. Chu vi hình thang ABDC là: CABDC AB BD CD AC AB 2CD Vì AB 2R không đổi nên CABDC AB 2CD nhỏ nhất khi nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất
 Ta có CD AB 2R CABDC AB 2CD 2R 4R 6R 
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi CD AB . Khi đó CD//AB 
 M là điểm chính giữa nửa đường tròn O thì chu vi hình thang ABDC đạt giá trị 
 nhỏ nhất.
 +) Khi M là điểm chính giữa nửa đường tròn O ta có CD AB suy ra
 AC BD .AB CD.AB 2R.2R
 S 4R 
 ABDC 2 2 2
 CD.AB
 Vì S nên CD nhỏ nhất thì S nhỏ nhất
 ABDC 2 ABDC
 Vì M di chuyển trên nửa đường tròn O nên CD AB 2R
 SABDC 4R MinSABDC 4R 
 đpcm.
Câu 5: (2,0 điểm) 
 Với các số thực dương a, b , c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a2 b2 c2 1
 P 2018 .
 2 2 2
 b c a 3 a b c 
 Lời giải
 2 2 2 2
 a b c 2 2 2
 Chứng minh 3 a b c 
 b c a 
 a4 b4 c4 a2b b2c c2a 
 VT 2 2 2 2 
 b c a c a b 
 a4 a2b
 Ta có bc 3a2 
 b2 c
 b4 b2c
 Tương tự ac 3b2
 c2 a
 c4 c2a
 ab 3c2 
 a2 b
 a2b b2c c2a
 VT ab bc ca 3 a2 b2 c2 (1)
 c a b
 2 2 2
 a b b c c a 2
 Mà bc ac ab ab bc ca 
 c a b 
 a2b b2c c2a
 ab bc ca (2)
 c a b
 Từ (1) và (2) VT 3 a2 b2 c2 
 a2 b2 c2
 3 a2 b2 c2 
 b c a Khi đó 
 a2 b2 c2 1
 P 2016 3 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 
 2 2 2
 b c a 3 a b c 
 2 2 2 2 2 2 1
 2016 a b c 33 3 a b c . 3 a b c .
 3 a2 b2 c2 
 2016 3 2019
 1
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 
 3
 1
Vậy Min P 2019 xảy ra khi a b c .
 3