Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Tỉnh Đà Nẵng (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: (2,0 điểm)
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a 0, a 1 .
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên?
 M
Câu 2: (2,0 điểm)
 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các 
 đường thẳng d1 , d2 và ( m ) .Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
 ( m ) cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có 
 hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên 
 trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất 
 1 1
 của biểu thức Q .
 OM 2 ON 2
Câu 3: (2,0 điểm)
 17x 2y 2011 xy
 a) Giải hệ phương trình: 
 x 2y 3xy
 1
 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x y 3 .
 2
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên 
 (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B . Lấy C là điểm đối xứng của O qua A
 . Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N . Đường thẳng BN
 cắt đường tròn C tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F .
 a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
 b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo 
 danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: (2,0 điểm)
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a 0, a 1 .
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên?
 M
 Lời giải
 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
 a) Do a 0; a 1 nên: và 
 a a a( a 1) a
 a2 a a a 1 (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
 a a a a(1 a) a(1 a) a
 a 1
 M 2
 a
 Do a 0; a 1 nên: ( a 1)2 0 a 1 2 a
 2 a
 M 2 4
 a
 6 3
 b) Ta có 0 N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
 M 2
 6 a
 Mà N = 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2)2 3 
 a 1 2 a
 a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp)
 Vậy N nguyên a (2 3)2
Câu 2: (2,0 điểm)
 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các 
 đường thẳng d1 , d2 và ( m ) .Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
 ( m ) cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có 
 hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên 
 trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất 
 1 1
 của biểu thức Q .
 OM 2 ON 2
 Lời giải
 a) Điều kiện để ( m ) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0 .
 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và ( m ) là:
 0,5x 3 mx (m 0,5)x 3 
 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5
 Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và ( m ) là: 6 x mx (m 1)x 6
 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0
 b) Đặt M xm và n yN m.n 0 và m 1 (*)
 Nên đường thẳng qua ba điểm M , I, N có dạng: y ax b 
 0 am b
 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn 
 n b
 1 2
 Chia hai vế cho m.n 0 ta được: 1 (**)
 m n
 2 2
 1 2 1 4 4 1 1 2 1 
 1 2 2 5 2 2 
 m n m n mn m n m n 
 1 1 1 2 1
 Q ; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp (**): m 5, n 2,5 (thỏa (*)
 m2 n2 5 m n
 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 
 5
Câu 3: (2,0 điểm)
 17x 2y 2011 xy
 a) Giải hệ phương trình: 
 x 2y 3xy
 1
 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x y 3 .
 2
 Lời giải
 17 2 1 1007 9
 2011 x 
 y x y 9 490
 a) Nếu xy 0 thì (1) (phù hợp)
 1 2 1 490 9
 3 y 
 y x x 9 1007
 17 2 1 1004
 2011 
 y x y 9
 Nếu xy 0 thì (1) xy 0 (loại)
 1 2 1 1031
 3 
 y x x 18
 Nếu xy 0 thì (1) x y 0 (nhận).
 9 9 
 KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là 0;0 và ; 
 490 1007 
 b) Điều kiện x 0; y z 0; z x 0 y z x 0 (2) 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
 ( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1)2 0 
 x 1 x 1
 y z 1 y 3 (thỏa điều kiện)
 z 2
 z x 1 
Câu 4: (3,0 điểm)
 Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên 
 (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B . Lấy C là điểm đối xứng của O qua A
 . Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N . Đường thẳng BN
 cắt đường tròn C tại điểm thứ hai là E . Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F .
 a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
 b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
 Lời giải
 F
 M
 C
 B
 A O
 (C)
 E
 N
 a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
 MN  BF và BC  NF
 A là trực tâm của tam giác BNF 
 FA  NB
 Lại có AE  NB
 Nên A, E, F thẳng hàng Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
 C· AN M· AB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.
 AN AC
 Suy ra: 
 AB AM
 Hay AM  AN AB  AC 2R2 không đổi (với R là bán kính đường tròn C )
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
 2
 Ta có BA BC nên A là trọng tâm tam giác BNF C là trung điểm NF (3)
 3
 Mặt khác: C· AN C· FM , nên hai tam giác CNA # CBF 
 CN AC
 CN CF BC  AC 3R2 
 BC CF
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3 không đổi
 Nên: NF ngắn nhất CN =CF C là trung điểm NF (4)
 (3) và (4) cho ta: A là trọng tâm tam giác BNF NF ngắn nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
 Lời giải
 Đặt: S 1 .2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 
 S
 3.4.5.6.7.8.11.12 (1) là một số nguyên 
 100
 hai chữ số tận cùng của S là 00
 Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của 1 , nếu chỉ để ý 
 S
 đến chữ số tận cùng, ta thấy có chữ số tận cùng là 6 (vì
 100
 3.4 12; 2.6 12; 2.7 14; 4.8 32; 2.9 18; 8.11 88; 8.12 96 )
 Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600 
 ..HẾT