Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Tỉnh Ninh Bình (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014-2015
Câu 1. (5,0 điểm)
 2 
 x 4 x x 8 x 2 2 x
 Cho biểu thức A : (với x 0 , x 4 ).
 x 2 4 x x 2
 a) Rút gọn A .
 b) Chứng minh rằng A 1, với mọi x 0 , x 4 .
 c) Tìm x để A là số nguyên.
Câu 2. (5,0 điểm)
 Giải phương trình và hệ phương trình sau:
 a) 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
 x y z 6
 b) xy yz zx 11.
 xyz 6
Câu 3. (2,0 điểm)
 Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức A 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2 .
Câu 4. (7,0 điểm)
 Cho đường tròn O , dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng 
 với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC . Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn 
 thẳng BC ; E , F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA . Chứng minh rằng:
 a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau.
 b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau.
 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung 
 nhỏ BC .
Câu 5. (1,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , độ dài cạnh huyền bằng 2015 . Trong tam 
 giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có 
 khoảng cách không lớn hơn 1.
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: .
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015 2 
 x 4 x x 8 x 2 2 x
Câu 1. (5,0 điểm) Cho biểu thức A : (với x 0 , x 4 ).
 x 2 4 x x 2
 a) Rút gọn A .
 b) Chứng minh rằng A 1, với mọi x 0 , x 4 .
 c) Tìm x để A là số nguyên.
 Lời giải
 2 
 x 4 x x 8 x 2 2 x
 a) A : 
 x 2 4 x x 2
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2
 . 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4
 x 2 x 4 x 2
 x 2 . 
 x 2 x 2 x 4
 2 x
 .
 x 2 x 4
 2
 2 x x 2 
 b) Xét hiệu 1 A 1 0
 x 2 x 4 x 2 x 4
 Với mọi x 0, x 4 , suy ra A 1 (đpcm).
 2
 c) Ta có x 2 x 4 x 1 3 0 , với mọi x 0
 2 x
 suy ra A 0 0 A 1 A 0 x 0 . 
 x 2 x 4
Câu 2. (5,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
 x y z 6
 2 2 
 a) 2x 5x 12 2x 3x 2 x 5 . b) xy yz zx 11.
 xyz 6
 Lời giải
 a) 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 x 0
 ĐK: x 5 0 x 5.
 Đặt 2x2 5x 12 a ; 2x2 3x 2 b ( a,b 0 ).
 a2 b2
 a2 b2 2x 10 x 5 
 2 a2 b2
 a b 2 a b a2 b2 0 
 2
 a b 2 a b 0 .
 Vì a b 0 nên 2 a b 0 a b 2 a b 2 
 x 3
 b 2 b x 5 b 
 2
 x 3
 2x2 3x 2 2 2x2 3x 2 x 3 
 2
 8x2 12 8 x2 6x 9 7x 1 x 1 0 
 1
 x 
 7 (Thỏa mãn).
 x 1
 1 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; .
 7 
 x z 6 y
 x y z 6 x z 6 y 
 6
 b) xy yz zx 11 xy yz zx 11 y 6 y 11 
 y
 xyz 6 6 
 xz 6
 y xz 
 y
 6
 y 6 y 11 y2 6 y 6 11y y3 6y2 11y 6 0 .
 y
 y 1
 y 1 y 2 y 3 0 y 2
 y 3
 *) Với y 1 x 3; z 2 hoặc x 2; z 3. 
 *) Với y 2 x 3;z 1 hoặc x 1; z 3. 
 *) Với y 3 x 2; z 1 hoặc x 1; z 2 .
Câu 3. (2,0 điểm) Cho ba số thực không âm x , y , z thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất 
 của biểu thức 
 A 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2
 Lời giải
 A 2x2 3xy 2y2 2y2 3yz 2z2 2z2 3zx 2x2 A 2 x y 2 xy 2 y z 2 yz 2 z x 2 zx
 2
 2 2 x y 7 2
 Ta có 2 x y xy 2 x y x y 
 4 4
 7
 2x2 3xy 2y2 x y . 
 2
 7
 Tương tự ta có 2y2 3yz 2z2 y z ,
 2
 7
 2z2 3zx 2x2 z x .
 2
 A 7 x y z 3 7 .
 Vậy Min A 3 7 , dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y z 1.
Câu 4. (7,0 điểm) Cho đường tròn O , dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC , 
 A không trùng với B , C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC . Gọi H là hình chiếu của A 
 trên đoạn thẳng BC ; E , F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA . Chứng 
 minh rằng:
 a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau.
 b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau.
 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên 
 cung nhỏ BC .
 Lời giải
 a) Tứ giác ABHE nội tiếp ·ABH H· EF hay ·ABC H· EF . 
 Tứ giác AHFC nội tiếp ·ACH ·AFH hay ·ACB E· FH Xét HEF và ABC có:
 ·ABC H· EF ,
 ·ACB E· FH
 HEF ∽ ABC (g.g).
 b) Ta có ·ABC H· EF mà ·ABC ·AA'C (cùng chắn cung AC ) nên H· EF ·AA'C 
 HE//A'C .
 Do A'C  AC nên HE  AC .
 c) Ta có tứ giác AHFC nội tiếp trong đường tròn đường kính AC nên trung trực của HF 
 đi qua trung điểm G của AC .
 Mà DG//AB nên DG đi qua trung điểm K của BC .
 Tương tự: trung trực JI của HE cũng đi qua trung điểm K của BC . 
 Vì BC cố định nên K cũng cố định.
 Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm K cố định khi A chuyển động trên 
 cung nhỏ BC .
Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , độ dài cạnh huyền bằng 2015 . Trong tam 
 giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có 
 khoảng cách không lớn hơn 1.
 Lời giải
 Chia cạnh huyền BC thành 2015 đoạn thẳng bằng nhau. Từ các điểm chia đó vẽ các đường 
 thẳng song song với hai cạnh AB, AC ta được 2015 tam giác vuông cân có cạnh huyền 
 bằng 1 và 2014 2013 ... 1 hình vuông có đường chéo bằng 1.
 2014.2015 
 Do đó trong tam giác ABC có tất cả 2015 2031120 hình (vừa hình vuông 
 2
 có đường chéo bằng 1, vừa tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1).
 Vậy trong 2031121 điểm sẽ tồn tại ít nhất hai điểm nằm trong một hình nào đó.
 Với hai điểm đó thì khoảng cách của nó không lớn hơn 1.