Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Tỉnh Bình Dương (Có đáp án)

 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BèNH DƯƠNG
 NĂM HỌC:2016 - 2017
Cõu 1. (5,0 điểm)
a) Tỡm tất cả cỏc ngiệm nguyờn của phương trỡnh x y 2017 .
b) Xỏc định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đú dạng 82xxyy với xxyy là 
số chớnh phương.
Cõu 2. (4,0 điểm) 
Tam giỏc ABC đều nội tiếp đường trũn (O; R) , M (O; R) . Chứng minh rằng: 
MA2 MB2 MC2 6R2 .
Cõu 3. (3,0 điểm)
 x2 1
a) Giải phương trỡnh: 1.
 3 9 x2 4 3 9 x2 
 1 
 x y 1 5
 xy 
b) Giải hệ phương trỡnh: 
 1 
 x2 y2 1 49
 2 2 
 x y 
Cõu 4. (3,0 điểm)
 2
a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luụn cú: a2 c2 b2 d 2 ab cd .
 a2 b2 1
b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: 
 4a 3b 3a 4b 25
Cõu 5. (3,0 điểm) Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA . 
 1
 Chứng minh rằng: S MP.NQ AB CD AD BC .
 ABCD 4
Cõu 6. (2,0 điểm) Cho đa giỏc lồi cú 12 cạnh.
a) Tỡm số đường chộo.
b) Tỡm số tam giỏc cú ớt nhất 1 cạnh là cạnh của đa giỏc đú ?
 -------------Hết------------- LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BèNH DƯƠNG
 NĂM HỌC 2016 - 2017
Cõu 1. (5,0 điểm)
a) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh x y 2017 .
b) Xỏc định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đú dạng 82xxyy với xxyy là 
số chớnh phương.
 Lời giải
a) Phương trỡnh: x y 2017 (x, y 0) x 20172 y 4034 y
Do x, y Z y Z
 y a2
Vậy nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh là: 
 2
 x (2017 a)
b) Ta cú: xxyy 11.x0y là số chớnh phương nờn :
 x y 11 x y 11
 x0y  11 100x y  11 99x x y  11 x y  11 
 x y 0 x y 0
➢ Với x y 0 ta tỡm được số : xxyy 0000
➢ Với x y 11 ta cú: xxyy 11.x0y 11. 99x x y 11. 99x 11 112. 9x 1 
 9x 1 là số chớnh phương.
 x 7 y 4
Vậy: xxyy 7744; xxyy 0000
Cõu 2. (4,0 điểm) Tam giỏc ABC đều nội tiếp đường trũn (O; R) , M (O; R) . Chứng minh rằng: 
 MA2 MB2 MC2 6R2 .
 Lời giải
Giả sử: M ằAC .
Dễ thấy: MA MC MB (trờn MB lấy I sao cho MI MC , ta 
chứng minh: IB MA )
Đặt: MA x ; MB y ; MC y x . 
Ta cú: AM 2 BM 2 CM 2 x2 y2 x y 2
 2 x2 y2 xy (1)
 x 3
Kẻ AH  BM MH AH 2 x2 .
 2 4
 x
Mà BH MB MH y 
 2
 x 3 1
BH MB MH y AB2 AH 2 BH 2 x2 y2 x2 xy x2 y2 xy (2)
 2 4 4 2
Từ (1),(2) AM 2 BM 2 CM 2 2AB2 2 R 3 6R2 (đpcm) 
Cõu 3. (3,0 điểm) 
 x2 1
a) Giải phương trỡnh: 1.
 3 9 x2 4 3 9 x2 
 1 
 x y 1 5
 xy 
b) Giải hệ phương trỡnh: 
 1 
 x2 y2 1 49
 2 2 
 x y 
 Lời giải
 x2 1
a) Phương trỡnh: 1
 3 9 x2 4 3 9 x2 
 2
 9 x 0 3 x 3
Điều kiện: 
 2 
 3 9 x 0 x 0
 2 2
 2 x x
 x 1 3 9 3 9 1
 1 1
 3 9 x2 4 3 9 x2 3 9 x2 4 3 9 x2 
 1 2
 3 9 x2 1 4 3 9 x2 4 3 9 x2 1 0
 4 3 9 x2 
 1 5 11 11
 3 9 x2 9 x2 x2 x (tmủk)
 2 2 4 2
 1 
 x y 1 5
 xy 
b) Hệ phương trỡnh: ủk : x, y 0
 1 
 x2 y2 1 49
 2 2 
 x y 
 1 1
 1 1 x y 5
 x y 5 
 x y x y
 2 2
 2 2 1 1 1 1 
 x y 49 x y 53
 2 2 
 x y x y 
 1
 x a
 x a b 5 a 5 b b 7;a 2
Đặt ta được: 
 1 2 2 2 b 2;a 7
 y b a b 53 2b 10b 28 0 
 y 1
 x 2 x 1
 a 2 x 
• 7 3 5
 b 7 1 y 
 y 7 2
 y
 1
 x 7 7 3 5
 a 7 x x 
• 2
 b 2 1 
 y 2 y 1
 y
Cõu 4. (3,0 điểm)
 2
a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luụn cú: a2 c2 b2 d 2 ab cd 
 a2 b2 1
b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: 
 4a 3b 3a 4b 25
 Lời giải
a) Ta cú:
 2
 a2 c2 b2 d 2 ab cd a2b2 a2d 2 c2b2 c2d 2 a2b2 c2d 2 2abcd
 a2d 2 c2b2 2abcd 0 ad cb 2 0 (luụn đỳng).
b) Với a,b 0 . Ta cú:
 a2 b2 1
 25a2 25b2 4a 3b 3a 4b 
 4a 3b 3a 4b 25
 13 a2 b2 25ab 13 a b 2 ab 0
 a2 b2 1
Dấu “=” khụng xảy ra, vậy: 
 4a 3b 3a 4b 25
Cõu 5. (3,0 điểm) 
Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD, DA . Chứng minh 
 1
rằng: S MP.NQ AB CD AD BC 
 ABCD 4
 Lời giải
Ta cú: MP.NQ 2SMNPQ SABCD
Gọi R là trung điểm của AC , ta cú : 
 1 1
NR AB; QR CD
 2 2
 1
Suy ra: NQ NR QR AB CD 
 2 1 1
Tương tự: PM AD BC MP.NQ AB CD AD BC 
 2 4
 1
 S MP.NQ AB CD AD BC 
 ABCD 4
Cõu 6. (2,0 điểm) Cho đa giỏc lồi cú 12 cạnh
a) Tỡm số đường chộo.
b) Tỡm số tam giỏc cú ớt nhất 1 cạnh là cạnh của đa giỏc đú ?
 Lời giải
 12 12 3 
a) Số đường chộo của đa giỏc là: 54
 2
b) Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của đa giỏc, ta lập được 10 tam giỏc mà mỗi tam giỏc thỏa món đề bài 
mà đa giỏc ban đầu cú 12 cạnh nờn số tam giỏc thỏa món đề bài là 10.12 120
Tuy nhiờn nếu như tớnh theo cỏch trờn thỡ cỏc tam giỏc mà cú 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giỏc đó cho 
được tớnh 2 lần
Ta cú số tam giỏc được tớnh 2 lần như trờn là 12 tam giỏc nờn số tam giỏc thỏa món đề bài thực chất 
là: 120 12 108 tam giỏc. 
 -------------Hết-------------