Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) 1 11 2 Tính A 2 11 18 5 11 Câu 2: (1,5 điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức A : với x 0 ; x 1. x x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 Rút gọn A và chứng minh A . 3 Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất. Câu 4: (2 điểm) a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 x2 2x y 2 b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn y 2y z x y z 1 x 1 0 Câu 5: ( 1 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4 m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3 m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Câu 6: (1 điểm) o Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ·ABC 150 . Gọi E , F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD . Tính độ dài đoạn EF . Câu 7: ( 1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D . a) Chứng minh rằng: BC 2 AB.CD b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD . Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại F . Chứng minh rằng: E· AG F· AG . --- HẾT --- LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) 1 11 2 Tính A 2 11 18 5 11 Lời giải 1 11 2 1 11 . 2 11 2. 18 5 11 A = 2 11 18 5 11 4 11 49 9 11 5 11 2 7 x 2 x 1 x 1 Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức A : với x 0 ; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 Rút gọn A và chứng minh A . 3 Lời giải x 2 x 1 x 1 + Rút gọn A : với x 0 ; x 1. x x 1 x 1 x 1 x 2 x x 2 x( x 1) 1(x 1 x) x 1 A : ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) 2 x ( x 1)2 2 x 2 x A ( x 1)(x 1 x) x 1 (x 1 x) 2 + Chứng minh A . 3 2 2 x 2 6 x 2x 2 x 2 2( x 1)2 Xét hiệu A 0 3 (x 1 x) 3 3(x 1 x) 3(x 1 x) 2 2 A 0 A 3 3 Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố định. Tìm tọa độ của điểm H b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất. Lời giải a) Gọi H x0 ; y0 là điểm cố định luôn đi qua dm với mọi m. H x0 ; y0 dm với mọi m x0 2 0 x0 2 Ta có: y0 mx0 2m 1 y0 1 x0 2 m . y0 1 0 y0 1 Vậy H (-2 ;-1) b) Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm | m 2 2m 1| 3| m 1| 2 2 | m 1| h A,d 3 2 do (m 1) 2 m 1 2 m m2 1 m2 1 m2 1 Dấu “ = ” xảy ra khi m -1 Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất là 3 2 khi m -1 Câu 4: ( 2 điểm) a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 x2 2x y 2 b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn y 2y z x y z 1 x 1 0 Lời giải a)ĐK x 2 x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 2 2 ( x 2 2) ( x 2 3) 7 | x 2 2 | x 2 3 7 x 2 2 x 2 3 7 2 x 2 x 2 3 7 2 x 2 6 5 7 (loai) x 11 (t / m) b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn x2 2x y 2 y 2y z ( I) x y z 1 x 1 0 Thay (1) và (2) vào (3) ta có: x x2 2x y2 2y 1 x 1 0 2 2 (x 1) (y 1) (x 1) x 1 0 Vế trái 0 ; Vế phải 0 nên dấu bằng xảy ra khi: x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 Suy ra z 1 Vậy (x, y, z) (1, 1, 1) Câu 5: ( 1 điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4 m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3 m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Lời giải Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1; y 4 ) Nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích không đổi nên ta có pt (x 1)(y 2) xy (1) Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta có pt x 3 y 4 x y 7 (2) Thế (2) vào (1) ta có: (y 8)(y 2) y (y 7) y 16; x 9 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9 144 (m2 ) Câu 6: ( 1 điểm) o Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ·ABC 150 . Gọi E , F lần lượt là chân đường cao hạ từ C đến AB và AD . Tính độ dài đoạn EF . Lời giải Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì ·AEC C· FA 90 Nên: E· AC C· FE ( Cùng chắn cung E»C ) · · » FAC FEC ( Cùng chắn cung FC ) · · DAC BCA ( so le trong) Suy ra: BAC ∽ CFE(g g) BC AC CE AC 1 FE AC sin 30 4 2 CE FE BC 2 Câu 7: ( 1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D . a) Chứng minh rằng: BC 2 AB.CD b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD . Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại F . Chứng minh rằng: E· AG F· AG . Lời giải a) Ta có: B· AC C· BD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) ·ABC B· CD (so le trong) ABC ∽ BCD (g g) AB BC BC 2 AB.CD (1) BC CD b) Qua A kẻ tiếp tuyến tại C với (O) cắt đường thẳng qua B song song với AC tại I , cắt AF tại J . Nối AE cắt CD tại H . Chứng minh được: BC 2 AC.BI (2) AB BI Từ (1) và (2) ta có: AB.CD AC.BI (3) AC CD AN FN CN Lại có: AC // JI do AN NC JB IB (4) JB FB IB AP EP BP Tương tự: AB // FI do AP BP CD CH (5) CH EC CD AB BJ AB AC Từ (3),(4),(5) ta có: AC CH BJ CH ABJ ∽ ACH (c.g.c) ·AHC B· JA J· AB H· AC E· AB F· AC . --- HẾT ---
Tài liệu đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2017_2018_t.docx