Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Thành phố Đà Nẵng (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG
 NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (1 điểm)
 1 11 2
 Tính A 
 2 11 18 5 11
Câu 2: (1,5 điểm)
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức A : với x 0 ; x 1. 
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 2
 Rút gọn A và chứng minh A .
 3
Câu 3: (1,5 điểm)
 Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố 
 định. Tìm tọa độ của điểm H
 b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất.
Câu 4: (2 điểm)
 a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 
 x2 2x y
 2
 b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn y 2y z 
 x y z 1 x 1 0
Câu 5: ( 1 điểm)
 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì 
 diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4 m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3 
 m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Câu 6: (1 điểm)
 o
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ·ABC 150 . Gọi E , F lần lượt là 
 chân đường cao hạ từ C đến AB và AD . Tính độ dài đoạn EF .
Câu 7: ( 1 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường 
 thẳng qua C và song song với AB tại D .
 a) Chứng minh rằng: BC 2 AB.CD 
 b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD . Tiếp tuyến tại C 
 của (O) cắt BG tại F . Chứng minh rằng: E· AG F· AG .
 --- HẾT --- LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG
 NĂM HỌC 2017-2018
 Câu 1: (1 điểm)
 1 11 2
 Tính A 
 2 11 18 5 11
 Lời giải
 1 11 2 1 11 . 2 11 2. 18 5 11 
 A =
 2 11 18 5 11 4 11 49
 9 11 5 11
 2
 7
 x 2 x 1 x 1
Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức A : với x 0 ; x 1
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 2
 Rút gọn A và chứng minh A .
 3
 Lời giải
 x 2 x 1 x 1
 + Rút gọn A : với x 0 ; x 1. 
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 x 2 x( x 1) 1(x 1 x) x 1
 A :
 ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) ( x 1)(x 1 x) 2 x
 ( x 1)2 2 x 2 x
 A  
 ( x 1)(x 1 x) x 1 (x 1 x)
 2
 + Chứng minh A .
 3
 2 2 x 2 6 x 2x 2 x 2 2( x 1)2
 Xét hiệu A 0 
 3 (x 1 x) 3 3(x 1 x) 3(x 1 x)
 2 2
 A 0 A 
 3 3
 Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố 
 định. Tìm tọa độ của điểm H
 b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất.
 Lời giải
 a) Gọi H x0 ; y0 là điểm cố định luôn đi qua dm với mọi m.
 H x0 ; y0 dm với mọi m
 x0 2 0 x0 2
 Ta có: y0 mx0 2m 1 y0 1 x0 2 m . 
 y0 1 0 y0 1 Vậy H (-2 ;-1) 
 b) Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm
 | m 2 2m 1| 3| m 1| 2 2 | m 1| 
 h A,d 3 2 do (m 1) 2 m 1 2 
 m m2 1 m2 1 m2 1 
 Dấu “ = ” xảy ra khi m -1 
 Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất là 3 2 khi m -1 
Câu 4: ( 2 điểm) 
 a) Tìm tất cả các số của x thỏa mãn x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7 
 x2 2x y
 2
 b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn y 2y z 
 x y z 1 x 1 0
 Lời giải
 a)ĐK x 2 
 x 4 x 2 2 x 6 x 2 7 7
 2 2
 ( x 2 2) ( x 2 3) 7 
 | x 2 2 | x 2 3 7 
 x 2 2 x 2 3 7
 2 x 2 x 2 3 7 
 2 x 2 6
 5 7 (loai)
 x 11 (t / m) 
 b) Tìm tất cả (x, y, z) thỏa mãn
 x2 2x y
 2
 y 2y z ( I)
 x y z 1 x 1 0
 Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
 x x2 2x y2 2y 1 x 1 0
 2 2
 (x 1) (y 1) (x 1) x 1 0 
 Vế trái 0 ; Vế phải 0 nên dấu bằng xảy ra khi:
 x 1 0 x 1
 y 1 0 y 1 
 Suy ra z 1 
 Vậy (x, y, z) (1, 1, 1) 
Câu 5: ( 1 điểm)
 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì 
 diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4 m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3 
 m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Lời giải
 Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1; y 4 )
 Nếu giảm chiều rộng đi 1 m và tăng chiều dài thêm 2 m thì diện tích không đổi nên ta có 
 pt
 (x 1)(y 2) xy (1)
 Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta 
 có pt
 x 3 y 4 x y 7 (2)
 Thế (2) vào (1) ta có: (y 8)(y 2) y (y 7) y 16; x 9 
 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9 144 (m2 )
Câu 6: ( 1 điểm)
 o
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ·ABC 150 . Gọi E , F lần lượt là 
 chân đường cao hạ từ C đến AB và AD . Tính độ dài đoạn EF .
 Lời giải
 Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp vì ·AEC C· FA 90 
 Nên: E· AC C· FE ( Cùng chắn cung E»C )
 · · »
 FAC FEC ( Cùng chắn cung FC )
 · ·
 DAC BCA ( so le trong)
 Suy ra: BAC ∽ CFE(g g) 
 BC AC CE  AC 1
 FE AC sin 30 4 2
 CE FE BC 2 
Câu 7: ( 1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B của đường tròn 
 (O) cắt đường thẳng qua C và song song với AB tại D .
 a) Chứng minh rằng: BC 2 AB.CD 
 b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ; E là giao điểm của CG và BD . Tiếp tuyến tại 
 C của (O) cắt BG tại F . Chứng minh rằng: E· AG F· AG .
 Lời giải a) Ta có: B· AC C· BD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
 ·ABC B· CD (so le trong)
 ABC ∽ BCD (g  g) 
 AB BC
 BC 2 AB.CD (1)
 BC CD 
b) Qua A kẻ tiếp tuyến tại C với (O) cắt đường thẳng qua B song song với AC tại 
 I , cắt AF tại J . Nối AE cắt CD tại H .
 Chứng minh được: BC 2 AC.BI (2)
 AB BI
Từ (1) và (2) ta có: AB.CD AC.BI (3)
 AC CD
 AN FN CN
Lại có: AC // JI do AN NC JB IB (4)
 JB FB IB
 AP EP BP
Tương tự: AB // FI do AP BP CD CH (5)
 CH EC CD
 AB BJ AB AC
Từ (3),(4),(5) ta có: 
 AC CH BJ CH
 ABJ ∽ ACH (c.g.c) ·AHC B· JA J· AB H· AC E· AB F· AC .
 --- HẾT ---