Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Phú Yên (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Tỉnh Phú Yên (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018 2 3 2 3 Câu 1: Tính giá trị của P 2 2 . 4 2 3 4 2 3 1 1 2 2 2 2 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 13 Câu 2: Giải phương trình . 2017 x 2 2017 x 2018 x x 2018 2 37 Câu 3: Cho a,b,c 0. Chứng minh rằng: a a a) . a 2b a b a b c b) 1. a 2b b 2c c 2a Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA CK; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh rằng tam giác IHJ vuông cân. Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B,C). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC. Vẽ các đường tròn H; HM và K; KM . a) Chứng minh rằng hai đường tròn H và K luôn cắt nhau; b) Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn H và K . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 6: Tìm các số nguyên tố p sao cho 7 p 1 bằng lập phương của một số tự nhiên. .HẾT . ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 TỈNH PHÚ YÊN 2017-2018 2 3 2 3 Câu 1. Tính giá trị của P 2 2 4 2 3 4 2 3 1 1 2 2 Lời giải 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 P 1. 3 3 3 3 6 6 6 6 2 2 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 13 Câu 2. Giải phương trình . 2017 x 2 2017 x 2018 x x 2018 2 37 Lời giải a2 ab b2 13 Đặt 2017 x a và x 2018 b. Ta có phương trình a2 ab b2 37 12a2 25ab 12b2 0 12a2 16ab 9ab 12b2 0 3a 4b . 4a 3b 0 Xét 3a 4b 0 3 2017 x 4 x 2018 0 x 2021 Xét 4a 3b 0 4(2017 x) 3(x 2018) 0 x 2014 Phương trình có tập nghiệm S 2014;2021. Câu 3. Cho a,b,c 0. Chứng minh rằng: a a a b c a) b) 1 a 2b a b a 2b b 2c c 2a Lời giải a a a a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : . a 2b a.(a 2b) a b a a Dấu “=” xảy ra khi a a 2b b 0 vô lý. Vậy a 2b a b b) Tương tự câu a ta có : a b c a b c a b c 1. a 2b b 2c c 2a a b b c c a a b c a b c a b c Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vuông góc với cạnh BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD BA, trên tia Cy lấy điểm E sao cho CE CA. Gọi G là giao điểm của BE và CD, K và L lần lượt là giao điểm của AD, AE với cạnh BC. a) Chứng minh rằng CA CK; BA BL; b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của G lên BC. Chứng minh rằng tam giác IHJ vuông cân. Lời giải x y D I E G B K L J A C a) Ta có BD BA ABD cân nên B· AD B· DA Mà B· AD K· AC 90 B· DA B· KD B· DA ·AKC K· AC ·AKC ACK cân nên CA CL Tương tự ABL cân nên BA BL b) Áp dụng định lý Ta let và hệ quả của nó ta có: CH GE CE CA CK CK CH HK (Giả sử AB AC) BH GB BD BA BL BL BH HL HK CE GC IK HK IK Suy ra hay HI //DL HL BD GD ID HL ID Ta lại có BD BL nên tam giác BDL vuông cân B· LD 45 J· IH B· HI B· LD 45 Chứng minh tương tự ta cũng có I·JH 45 IHJ vuông cân tại H . Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC (M khác B,C). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC. Vẽ các đường tròn H; HM và K; KM . a) Chứng minh rằng hai đường tròn H và K luôn cắt nhau; b) Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn H và K . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải C E M K A H B N a) Ta có HM KM HK HK KM nên 2 đường tròn H và K luôn cắt nhau. b) Ta có N· HM N· CB ; N· MK N· BC Do AKMH là chữ nhật nên N· HM N· KM 90 N· CB N· BC 90 B· NC 90 Vẽ hình vuông ABEC ta có A, N, B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC cố định. Ta lại có N· EB N· CB mà N· CB N· MH , N· EB N· HM , do MH //EB nên ba điểm N, M , E thẳng hàng. Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định. Câu 6. Tìm các số nguyên tố p sao cho 7 p 1 bằng lập phương của một số tự nhiên. Lời giải Xét p 2 7 p 1 15 (loại) Xét p 2 thì p là số nguyên tố lẻ nên 7 p 1 là số tự nhiên chẵn. Đặt 7 p 1 2k 3 với k nguyên dương . Khi đó 7 p 2k 3 1 2k 1 4k 2 2k 1 Vì p và 7 đều là số nguyên tố nên 2k 1 7 k 4 TH1: 2 (thỏa mãn) 4k 2k 1 p p 73 2k 1 1 k 1 TH2: 2 (loại) 4k 2k 1 7 p p 1 2k 1 p 2k 1 p k 1 TH3: 2 2 (loại) 4k 2k 1 7 2k k 3 0 p 1 Vậy p 73 thỏa mãn bài toán.
Tài liệu đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_nam_hoc_2017_2018_t.docx