Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 ĐỀ THI SỐ 10 - CHỌN HSG NĂM HỌC 2018-2019
 2 a 1 2 a 
Câu 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: A 1 : , với a 0 .
 a 1 1 a a a a a 1 
 1. Rút gon biểu thức A .
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a 2010 2 2009 .
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình x 1 x 2 x 4 x 8 28x2 .
 x 3 y 3 3( x y)
2. Giải hệ phương trình: 
 x y 1.
Câu 3: (4,0 điểm) 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 2 x6 x3 y 32 .
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu 
 của B , C lên đường thẳng AD .
 Chứng minh rằng: 2AD BM CN .
Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại C . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , P 
là điểm trên cạnh BC ; các điểm N , L thuộc AP sao cho CN  AP và AL CN .
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL .
2. Chứng minh LMN vuông cân.
3. Diện tích ABC gấp 4 lần diện tích MNL , hãy tính góc CAP .
 a2 b2
Câu 5: (2,0 điểm) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab 6 . Chứng minh: 4 3.
 a b
 LỜI GIẢI ĐỀ THI SỐ 10 - HSG NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (5,0 điểm)
 2 a 1 2 a 
Cho biểu thức: A 1 : , với a 0 .
 a 1 1 a a a a a 1 
 1. Rút gon biểu thức A .
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a 2010 2 2009 .
 Lời giải
 1. Điều kiện a 0 . Ta có:
 2 a 1 2 a 
 A = 1 : 
 a 1 1 a a a a a 1 
 a 2 a 1 1 2 a 
 = : 
 a 1 1 a (a 1)(1 a) 
 2
 a 1 a 1 2 a
 = :
 a 1 (a 1)(1 a) 2
 a 1 (a 1)(1 a)
 = 1 a .
 (a 1)( a 1) 2
 2
 2. a 2010 2 2009 2019 1 
 A 1 ( 2009 1)2 2009 .
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình x 1 x 2 x 4 x 8 28x2 .
 x 3 y 3 3( x y)
 2. Giải hệ phương trình: 
 x y 1.
 Lời giải
1. Ta có 
 x 1 x 2 x 4 x 8 28x2
 x2 6x 8 x2 9x 8 28x2 1 
+) Với x 0 , không phải là nghiệm của phương trình (1).
+) Với x 0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:
 6 9 
 1 x 9 x 8 28 
 x x 
 8
 Đặt t x , phương trình trên trở thành
 x
 2 t 2
 t 6 t 9 28 t 15t 26 0 
 t 13.
 8
+) Với t 2 ta có x 2 x2 2x 8 0 , phương trình vô nghiệm.
 x
 8
+) Với t 2 ta có x 13 x2 13x 8 0 x 13 137 .
 x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 13 137 .
2. Hệ phương trình:
 x 3 y 3 3( x y) ( x y)( x 2 xy y 2 3) 0
 x y 1 x y 1
Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
 x y 0 x 2 xy y 2 3 0
 (I) hoặc (II).
 x y 1 x y 1
 1 1 
+) Giải hệ (I) có nghiệm là x; y ; .
 2 2 
+) Xét hệ (II) từ x y 1 ta có y x 1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được 2 x 1
x x 2 0 x 1 x 2 0 
 x 2.
Từ đó ta thấy hệ (II) có hai nghiệm là: 1; 2 ; 2; 1 .
 1 1 
Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm x; y là: ; ; 1; 2 ; 2; 1 .
 2 2 
Câu 3: (4,0 điểm) 
 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 2 x6 x3 y 32 .
 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD . Gọi M , N lần lượt là hình 
 chiếu của B , C lên đường thẳng AD .
 Chứng minh rằng: 2AD BM CN .
 Lời giải
 2
1. Ta có: : y2 2 x6 x3 y 32 x6 y x3 64 
 x6 64 2 x 2, do x ¢ x 1; 2;1;0;1;2 .
Xét các trường hợp: 
 2
+ x 2 y x3 0 y 8 .
 2
+ x 1 y x3 63 y ¢ , nên phương trình không có nghiệm nguyên. 
 2
+ x 0 y x3 4 y 8 hoặc y 8 .
 2
+ x 1 y x3 63 y ¢ , nên phương trình này không có nghiệm nguyên.
 2
+ x 2 y x3 0 y 8 .
Vậy nghiệm của phương trình là: x; y 0;8 ; 0; 8 ; 2;8 ; 2; 8  .
2. 
Ta có AMB và ANC vuông cân nên MA MB và 
NA NC .
Nên BM CN AM AN . Giả sử: AB AC 
 DC AC
 Theo tính chất phân giác ta có 1. 
 DB AB
 DN DC
Vì BM // CN suy ra 1do đó 
 DM DB
DN DM . 
Nếu I là trung điểm của MN thì AD AI và AM AN 2AI .
 Khi đó 2AD 2AI = AM AN BM CN (đpcm).
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại C . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , P là điểm trên cạnh 
BC ; các điểm N , L thuộc AP sao cho CN  AP và AL CN .
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL . 2. Chứng minh LMN vuông cân.
3. Diện tích ABC gấp 4 lần diện tích MNL , hãy tính góc CAP .
 Lời giải
1.
Đặt ·ACP a ·ACN 90 a 
Khi đó, M· CN ·ACN 45 90 a 45 45 a L· AM .
2. 
Do ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên 
AM CM và AL CN (gt) , M· CN L· AM 
Nên AML CMN LM MN và ·AML C· MN 
L· MN 90 ·AML C· MN 90 . 
Vậy tam giác LMN vuông cân tại M .
3 . Do các LMN, ABC vuông cân nên:
 2 2
 2 S LMN MN và 2 S ABC AC .
 1
 S 4S (gt). Từ đó suy ra MN = MN AC .
 ABC LMN 2
 1
Gọi Q là trung điểm của AC thì QM QN AC MN 
 2
 Q· MN 60 và Q· NA 60 45 15 .
 Mặt khác AQ NQ nên C· AP Q· NA 15 .
Câu 5: (2,0 điểm)
 a2 b2
 Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab 6 . Chứng minh: 4 3.
 a b
 Lời giải
 a2 b2 (a b)2 2ab 12
Ta có: a b .
 a b a b a b
 12 12
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a b 2 a b. 4 3 .
 a b a b