Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014-2015
 MÔN THI: TOÁN 
 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 x2 x 2x x 2 x 1 
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P . 
 x x 1 x x 1
 a. Rút gọn P. 
 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
 2 x
 c. Xét biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2.
 P
Bài 2: (4,5 điểm) 
 2014 2015
 a. Không dùng máy tính hãy so sánh : và 2014 2015 . 
 2015 2014
 b. Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 0 .
 1 5
 c. Giải phương trình: 4. 
 x 3 x 4
Bài 3: (4,0 điểm) 
 3
 5 2 17 5 38 2015
 a. Với x . Tính giá trị của biểu thức: B = 3x3 8x2 2 
 5 14 6 5
 b.Tìm các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1)  y đồng thời (3y + 1)  
x.
Bài 4: (6,0 điểm) 
 Cho ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
 S
 a.CM: AEF đồng dạng ABC ; AEF cos2 A. 
 SABC
 2 2 2
 b.CM : SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC
 c.Biết AH = k.HD. C/minh: tanB.tanC = k + 1. 
 HA HB HC
 d.Chứng minh rằng: 3 .
 BC AC AB
Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm GTNN của: A 36x 5y . HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2014-2015
 Bài Nội dung cần đạt
 1 a.(2,0đ) Đk : x 0; x 1.
 x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 
 P x x 1 2 x 1 2 x 1 x x 1 
 x x 1 x x 1
 Vậy P x x 1, với x 0; x 1.
 2
 1 3 3
 b. (1,0đ) P x x 1 x 
 2 4 4
 3 1
 dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk. Vậy GTNN của P là khi x .
 4 4
 2 x
 c, (1,0đ).Với x 0; x 1 thì Q = > 0. (1)
 x x 1
 2
 2 x 2 x 1 
 Xét 2 0 . Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1 .
 x x 1 x x 1
 suy ra Q < 2.(2). Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
 2014 2015 2015 1 2014 1 1 1
2 2015 2014 2015 2014
 2015 2014 2015 2014 2014 2015
 2014 2015
 Vậy > 2014 2015 . 
 2015 2014
 b. Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 0 (1) 
 Vì (2x - y)2 0 ; (y – z + 1)2 0 ; ( z - 3)2 0 với mọi x, y, z nên từ 
 (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
 c. Đk: x > - 3. Khi đó phương trình đã cho tương đương với 
 1 5
 4 4 
 1 5 x 3 x 4 4x 11 4x 11
 2 2 0 0 0 
 x 3 x 4 1 5 1 5 
 2 2 x 3 2 x 4 2 
 x 3 x 4 x 3 x 4 
 1 1
 Vì x > - 3 nên 0 
 1 5 
 x 3 2 x 4 2 
 x 3 x 4 
 11 11
 Do đó 4x + 11 = 0 x = TMĐK. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  . 
 4 4 
 3
3 3
 5 2 5 2 5 2 5 2 1
 a.Ta có x . Do đó B = - 1. 
 5 (3 5)2 5 3 5 3
 b. Dễ thấy x y . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
 Từ (3y + 1)  x 3y 1 p.x p N * . 
 Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. p < 3. Vậy p 1;2 
 • Với p = 1: x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4  y 4y 
 Mà y > 1 nên y 2;4
 + Với y = 2 thì x = 7.
 + Với y = 4 thì x = 13.
 • Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y + 5 Vì 3x + 1y nên 9y + 5y suy ra 5y , mà y > 1 nên y = 5, 
 suy ra x = 8.
 Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng.
 Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);
4 a. Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = AE 
 AB
 Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = AF .
 AC A
 AE AF
 Suy ra = AEF : ABC(c.g.c) 
 AB AC
 2 E
 SAEF AE 2
 * Từ AEF : ABC suy ra cos A 
 SABC AB F
 S S
 a. Tương tự câu a, BDF cos2 B, CDE cos2 C.
 S S
 ABC ABC H
 S S S S S
 Từ đó suy ra DEF ABC AEF BDF CDE 1 cos2 A cos2 B cos2 C 
 SABC SABC B C
 2 2 2 D
 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC
 2
 b. Ta có: tanB = AD ,tanC = AD . Suy ra tanB.tanC = AD 
 BD CD BD.CD
 Vì AH = k.HD AD AH HD k 1 .HD nên AD2 k 1 2 .HD2 (1)
 HD2 k 1 2
 Do đó tanB.tanC = (2)
 BD.CD
 DB HD
 Lại có DHB : DCA(g.g) nên DB.DC HD.AD (3)
 AD DC
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 HD2 k 1 2 HD k 1 2 HD k 1 2
 tanB.tanC = k 1. 
 AD.HD AD HD k 1 
 HC CE HC.HB CE.HB S
 c. Từ AFC : HEC HBC 
 AC CF AC.AB CF.AB SABC
 HB.HA S HA.HC S
 Tương tự: HAB ; HAC . Do đó: 
 AC.BC SABC AB.BC SABC
 HC.HB HB.HA HA.HC S S S
 + + = HBC HCA HAB 1
 AC.AB AC.BC AB.BC SABC
 • Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*)
 2
 HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 
 Áp dụng (*) ta có: 3. 3.1 3 
 BC AC AB BC.BA CA.CB AB.AC 
 HA HB HC
 Suy ra 3 .
 BC AC AB
5 Với x, y N * thì 36x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng là 5 nên :
 A có chữ số tận cùng là 1 ( nếu 36x > 5y) hoặc 9 ( nếu 36x < 5y)
 TH1: A = 1. khi đó 36x - 5y =1 36x - 1 = 5y . Điều này không xảy ra vì (36x – 1)  
 35 nên (36x – 1)  7, còn 5y không chia hết cho 7. TH2: A = 9. Khi đó 5y - 36x = 9 5y = 9 + 36x điều này không xảy ra vì (9 + 36x) 
9 còn còn 5y không chia hết cho 9.
TH3: A = 11. Khi đó 36x - 5y =11. Thấy x = 1, y = 2 thỏa mãn.
Vậy GTNN của A bằng 11, khi x = 1, y = 2.