Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở GD & ĐT Thái Bình (có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 THÁI BÌNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 8/12/2020 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An. Địa chỉ : Tổ 2, hẽm 70/5 Võ Thị Sáu, phường Chánh Lộ, 
Thành Phố Quảng Ngãi, Tỉnh Quảng Ngãi. Điện thoại : 0353276871 
Câu 1(3,0 điểm). Cho 
1 1 3
3
3 3 9
a 
a.Chứng minh 29 2 3 3 0a a 
b.Tính 2 43 3 27 16 8S a a a 
Câu 2(3,0 điểm). Cho đa thức 4 3 2( )P x x ax bx cx d 
thỏa (1) 5; (3) 13; (5) 29P P P .Tính ( 4) 21 (6)T P P 
Câu 3(3,0 điểm). 
a.Giải phương trình 2 2(1 2 ) 1 2 7 1 0x x x x 
b.Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
( ) 4 0
( ) 2 2 13
x y y x y
y x y x x y
Câu 4(2,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa 
 2 2 2 2( ) 4a b c a b c .Chứng minh 
 2 2 2
1 1 1
3
( ) ( ) ( )
ab bc ca
a b b c c a
Câu 5(3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC 
và DB.Gọi M là trung điểm của AB.Trên đoạn thẳng BC lấy điểm N(N khác B, 
NB<NC).Đường thẳng qua A song song với MN cắt CD tại H.Chứng minh 
 2 2 .AB NB DH và tính số đo góc NOH 
Câu 6(3,0 điểm). 
Cho ( O;R) và E cố định,biết OE=a(0<a<R).Qua A vẽ dây AB tùy ý không phải là 
đường kính của (O).Các tiếp tuyến(O) tại A và B cắt nhau tại M.Gọi K là hình chiếu 
vuông góc của M trên OE. 
a.Chứng minh K cố định khi dây AB thay đổi 
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích OAMB theo a và R. 
Câu 7(1,0 điểm). 
Tìm tất cả các số tự nhiên (m,n ) thỏa mãn: 3m-n2+5n=7 
Lời giải 
Câu 1(3,0 điểm). Cho 
1 1 3
3
3 3 9
a 
a.Chứng minh 29 2 3 3 0a a 
b.Tính 2 43 3 27 16 8S a a a 
Lời giải 
Tự giải 
Câu 2(3,0 điểm). Cho đa thức 4 3 2( )P x x ax bx cx d 
thỏa (1) 5; (3) 13; (5) 29P P P .Tính ( 4) 21 (6)T P P 
Lời giải 
Đặt R(x)=P(x)−( 2x +4)⇒R(x)=P(x)−( 2x +4)⇒R(x) là đa thức bậc 4 
Ta có: R(1)=0,R(3)=0,R(5)=0. Do 
đó, R(x)=(x−1)(x−3)(x−5)(x−m)⇒P(x)=(x−1)(x−3)(x−5)(x−m)+ 2x +4 
Vậy T=P(−4)+21.P(6)=(−5).(−7).(−9).(−4−m)+20+21[5.3.1.(6−m)+40]=4010 
Câu 3(3,0 điểm). 
a.Giải phương trình 2 2(1 2 ) 1 2 7 1 0x x x x 
b.Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
( ) 4 0
( ) 2 2 13
x y y x y
y x y x x y
Lời giải 
Hệ được viết lại dưới dạng
2 2
2 2 3 2
2( 2 2 4 ) 0 (1)
2 2 2 13 (2)
x y xy x y
x y xy y x x y
Lấy (1) + (2) ta được y((y−1)(y−5)+2xy+ 2x +4x)=0 
Do đó nếu y=0 thì x=-1 ta được nghiệm (x;y)=(-1;0) 
nếu (y−1)(y−5)+2xy+ 2x +4x=0↔ 2y +2y(x+2)+ 2x −4x+5=0 
Δ′= 2( 2)x − 2x −4x+5=9.Đến đây dễ rồi 
Câu 4(2,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa 
 2 2 2 2( ) 4a b c a b c .Chứng minh 
 2 2 2
1 1 1
3
( ) ( ) ( )
ab bc ca
a b b c c a
Lời giải 
Cách 1:Ta có 
  
2 2 2
2 2 2
1 2 2 2
( ) 2( ) 2( )
ab ab ab ab bc ca a b c
a b a b a b
 2
3 ( )( ) 3 3
3
2 2( ) 2 2
c a c b
a b
. 
Cách 2:Từ giả thiết: 
22 2 2 2 2 24 2a b c a b c a b c ab bc ca .Ta có 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
ab bc ac
P
a b c b a c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
ab a b c ab bc ca bc a b c ab bc ca ac a b c ab bc ca
P
a b c b a c
2 2 2
2 2 2
2
a b a c b c c b a c b a a c b c b a
P
a b c b a c
2 2 2
2 3
a c b c a c b a b c b a
P Q
a b c b a c
3
2 2 2
2 3 3 . . 3 3 3
a c b c a c b a b c b a
P Q P
a b c b a c
. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
22 2 2
2 2 2
4
1
3
a b c a b c
a b ca c b c a c b a b c b a
a b c b a c
Câu 5(3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC 
và DB.Gọi M là trung điểm của AB.Trên đoạn thẳng BC lấy điểm N(N khác B, 
NB<NC).Đường thẳng qua A song song với MN cắt CD tại H.Chứng minh 
 2 2 .AB NB DH và tính số đo góc NOH 
Lời giải 
Ta có MN//AH => ∠BMN=∠BAH (sole trong) mà ∠BAH=∠AHD (phụ với ∠DAH) 
=> ∠BMN=∠AHD kết hợp với∠ADH=∠MBN = 90 độ => ΔBMN đồng dạng 
ΔDHA(g-g) => 
BN MB
AD DH
 BN.DH=AD.MB=
2
2
AB
 hay 2.BN.DH= 2AB . Ta có 
BN.DH=
2
2
AB
, OB.OD= 2OD =
2
2
AB
=> BN.DH=OB.OD 
BN OD
ON DH
kết hợp 
với ∠OBN=∠ODH=45 độ => ΔBNO đồng dạng ΔDOH (c-g-c) => ∠BON=∠OHD 
Mặt khác ∠NOH+∠BON+∠DOH = 180 độ 
=> ∠NOH=180độ−∠BON−∠DOH= 180 độ - (∠DOH+∠DHO) 
 = 180 độ - (180 độ - ∠ODH) = 180 độ - 180 độ + 45 độ = 45 độ=> ∠NOH= 45 độ 
Câu 6(3,0 điểm). 
Cho ( O;R) và E cố định,biết OE=a(0<a<R).Qua A vẽ dây AB tùy ý không phải là 
đường kính của (O).Các tiếp tuyến(O) tại A và B cắt nhau tại M.Gọi K là hình chiếu 
vuông góc của M trên OE. 
a.Chứng minh K cố định khi dây AB thay đổi 
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích OAMB theo a và R. 
Lời giải 
a.Gọi {I}=MO∩AB, dễ dàng c/m dc MO vuông tới AB tại I. Xét ΔOIE và ΔOHM 
 có : ∠MOH chung, ∠OIE=∠OHM = 90 độ => ΔOIE đồng dạng ΔOHM (g-g) 
=> 
2.IO OH OI OM R
OH
OE OM EO a
 cố định, O cố định, OH cố định => H cố định 
b) 
2 2
2 2 2 2. ; ;
OAMB
R R
S AI OM OM AI R IO R a
IO a
2
2 2.( )
OAMB
R
S R a
a
.Dấu '=' xảy ra I trùng E 
Câu 7(1,0 điểm). 
Tìm tất cả các số tự nhiên (m,n ) thỏa mãn: 3m-n2+5n=7 
Lời giải 
Ta có 3
m
-n
2
+5n=7⇔3(3m-1-1)=n−1)(n−4).Nhận thấy: n−1≡n−4(mod3) 
mà VP≡0(mod3)⟹n−1≡0(mod3)⟹VP≡0(mod9) ⟹ 3m−1−1≡0(mod3) 
⟹ 3m−1≡1(mod3)⟹ m−1=0. Với m=1 thì n=1 hoặc n=4 
Vậy cặp số tự nhiên thỏa mãn là : (m;n)=(1;1) hoặc (m;n)=(1;4)