Đề thi môn Toán Lớp 9 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2020-2021 - Sở GD & ĐT Quảng Bình (có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 QUẢNG BÌNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 8/12/2020 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776. 
Câu 1(2,0 điểm). 
a.Rút gọn 
2 11 3 2 1 1
: ; 2; 7
72 3 2 2 2
x x x
A x x
xx x x x
b.Giải phương trình 4 4 4 4 4x x x x 
Câu 2(2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho (d): y=ax+b(b khác 0) đi qua A(1;4) và 
cắt Ox,Oy tại B,C(khác O) 
a.Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho OA+OB+OC nhỏ nhất. 
b.Tính giá trị nhỏ nhất của 
.OBOC
P
BC
Câu 3(3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho B,C cố định,BC=2a(a>0) và a thay đổi sao 
cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi M là trung điểm BC,đường thẳng đi qua A và 
vuông góc AM cắt các đường phân giác góc AMB và góc AMC tại P,Q.Gọi D là 
giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC 
a.Gỉa sử AC=2AB. Tính số đo góc BQC. 
b.Chứng minh 
3
PD MP
QE MQ
c.Tính giá trị nhỏ nhất tổng diện tích tam giác ACQ và ABP theo a. 
Câu 4(1,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa 2a b c .Chứng minh 
2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
4
a b b c c a a b c
a b b c c a b c a
Câu 5(2,0 điểm). 
a.Số nguyên dương n gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương 
của nó (kể cả 1 và n) bằng 2( 3)n .Chứng minh nếu pq với p,q là các số nguyên tố 
khác nhau là số điều hòa thì pq+2 là số chính phương 
b.Tìm tất cả các số nguyên dương (x,y) thỏa mãn: x3+y3=x2+y2+42xy 
Lời giải 
Câu 1(2,0 điểm). 
a.Rút gọn 
2 11 3 2 1 1
: ; 2; 7
72 3 2 2 2
x x x
A x x
xx x x x
b.Giải phương trình 4 4 4 4 4x x x x 
Lời giải 
a.Đặt 
3 3 2
2 0;
2( 2) 2( 2 2)
b x
b x A
b x
b.Ta có điều kiện 
 4; 4 4 4 4 4 2 4 4 2 4 8x x x x x x x x (thỏa)
.Với
 8 4; 4 4 4 4 4 2 4 4 2 4 4 4x x x x x x x 
(đúng).Vậy nghiệm là 8 4x . 
Câu 2(2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho (d): y=ax+b(b khác 0) đi qua A(1;4) và 
cắt Ox,Oy tại B,C(khác O) 
a.Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho OA+OB+OC nhỏ nhất. 
b.Tính giá trị nhỏ nhất của 
.OBOC
P
BC
Lời giải 
a.Vì 
 (1;4) 4 4 ;( ) : 4 ( 0).A d a b b a d y ax a a
  
4
( ) ( ) ;0 ;( ) ( ) 0;4
a
d Ox B B d Oy C C a
a
.Điều kiện B,C nằm trên 
tia Ox,Oy là 
4
0
0
4 0
a
aa
a
.Ta có min minOA OB OC OB OC .Ta 
có 
4 4
4 5 9 2
a
OB OC a a a
a a
. 
b.Gọi H là hình chiếu O lên (d).Ta có 
.
. .
OBOC
OBOC BCOH P OH
BC
.Ta có 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 (4 1) 1
17 17 17 17
1 4
a
OH OH a MaxP
OH OB OC a
. 
Câu 3(3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho B,C cố định,BC=2a(a>0) và a thay đổi sao 
cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi M là trung điểm BC,đường thẳng đi qua A và 
vuông góc AM cắt các đường phân giác góc AMB và góc AMC tại P,Q.Gọi D là 
giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC 
a.Gỉa sử AC=2AB. Tính số đo góc BQC. 
b.Chứng minh 
3
PD MP
QE MQ
c.Tính giá trị nhỏ nhất tổng diện tích tam giác ACQ và ABP theo a. 
Lời giải 
a.Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Ta có 
 090AMP MBP MBP .Lúc đó BP là tiếp tuyến (M,MA).Ta có 
 090AMQ CMQ MCQ .Lúc đó CQ là tiếp tuyến (M,MA).Tam giác ABC 
dồng dạng tam giác CMQ nên 
1
2 2
AB CM BC
BC CQ
AC CQ CQ
 045BQC . 
b.Ta có 090PMQ .Ta có 
2
2 2. ; . (1);
AP PM
PM PA PQ MQ QAQP
AQ QM
2
2 2
2
.
. ; . (2);
.
AP PD PM
PA PM PD AQ QEQM
AQ QEQM
Từ 
4
4
.
(1);(2)
.
PM PD PM
QM QEQM
3
PD MP
QE MQ
. 
c.Ta có 
min
( ) min
2
ACQ ABP
PQBC
S S PQ AH
AH max
 
2/ /
( )min
4
2
ACQ ABP
PQ BC A
PQ BC a
S Sa
H M AH MH
 khi M là điểm chính giữa 
cung BC. 
Câu 4(1,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dương thỏa 2a b c .Chứng minh 
2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
4
a b b c c a a b c
a b b c c a b c a
Lời giải 
Ta đặt ; ; ; , , 0 2x a y b c c x y z x y z .Ta có 
2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
4
a b b c c a a b c
a b b c c a b c a
2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
4
x y y z z x x y z
x y y z z x y z x
.Vì 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y z y z x y z x
VT
x y y z z x x y y z z x x y y z z x
.Ta phải 
chứng minh 
2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)
2 (*)
y z x x y z
x y y z z x y z x
.Thật vậy ta có 
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 2)x y x y z
y z y z y z
.Tương tự ta có 
2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
;
y z x z x y
z x x z x y y x
.Từ đó ta có đpcm. 
Câu 5(2,0 điểm). 
a.Số nguyên dương n gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương 
của nó (kể cả 1 và n) bằng 2( 3)n .Chứng minh nếu pq với p,q là các số nguyên tố 
khác nhau là số điều hòa thì pq+2 là số chính phương 
b.Tìm tất cả các số nguyên dương (x,y) thỏa mãn: x3+y3=x2+y2+42xy 
Lời giải 
a.Vì n=pq điều hòa nên 
 2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( 3) 2 4 ( ) 4( 2)p q pq pq p qp q pq p q pq 
TH1: Nếu 1 trong 2 số p,q bằng 2 thì giả sử 
 22 12 4 0q p p (loại vì p nguyên tố). 
TH2: Nếu p,q là hai số lớn hơn 2 thì p,q là hai số lẻ thì 
 2 2 2( ) 4( 2) (2 ) 4( 2) 2p q pq k pq pq k 
b.Ta có 
2 2( ). ( ) 3 ( ) 40gt x y x y xy x y xy .Đặt 
 ; ; ,a x y b xy a b .Ta có 
3 2
2 2 3 3( 3 ) 40
3 40
a a
a a b a b b
a
2 2(3 40) 14 (3 40) 560
3 40
a a a a a a
a
6 23 68760 68800
(3 40 43;68800 2 .5 .43)
3 40 3 40
a
a
a a
.Ta có các trường 
hợp sau : 
TH1: 3 40 43 1a a (loại vì b>0). 
TH2: 
1; 7
3 40 64 8; 7
7; 1
x y
a a b
x y
TH3: 
20
3 40 100 20; 76
76
x y
a a b
xy
 (loại vì x,y ) 
TH4: 
40
3 40 160 40; 390
390
x y
a a b
xy
 (loại vì x,y ) 
TH5: 3 40 172 44; 484 22a a b x y 
TH6: 3 40 68800 22920; 174999357a a b (loại vì 2 4a b ) 
Vậy nghiệm thỏa đề là (1;7);(7;1);(22;22).