Đề thi môn Toán Lớp 9 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Thành phố - Năm học 2017-2018 - Nguyễn Dương Hải (có đáp án)

 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 1 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TP BUÔN MA THUỘT 
--------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS 
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018 
MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) 
Ngày thi: 06/03/2018 
Bài 1: (4,0 điểm) 
a) Cho biểu thức x x 26 x 19 2 x x 3K
x 2 x 3 x 1 x 3
. Tìm điều kiện để K có nghĩa 
và rút gọn K. 
b) Cho 
2
2
2018x 2019 1 x 2020
B
1 x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 
Bài 2: (4,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: n n n n nA 5 (5 1) 6 (3 2 ) 91  
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2x 8y 3(x xy y ) 
c) Giải phương trình: 2 1x 3x 2 1 x
x
Bài 3: (3,5 điểm) 
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm giá trị của tham số m để hai đường thằng (d): 
y x 2 và (d’): y 3 mx cắt nhau tại một điểm có tọa độ dương. 
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 
1 4 9
3
a b c
a b c 12
. Tìm a, b, c. 
Bài 4: (4,5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Gọi D là trung điểm của BC, 
E là một điểm di động trên đoạn thẳng AD. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E lên 
các cạnh AB và AC. Kẻ HI vuông góc với DK (với I DK ). Đường thẳng DK cắt đường 
thăng vuông góc với AB tại B ở F. 
a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. 
b) Tính số đo góc HIB. 
c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng hàng. 
d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất 
đó theo a. 
Bài 5: (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O,R) vẽ tứ giác ABCD có 4 đỉnh thuộc đường tròn (O). 
a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC 
b) Gọi D là điểm chính giữa của cung lớn BC có chứa đỉnh A. Trên BC chọn I sao 
cho BI = 2IC, DI cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là E. 
Chứng minh AE.BCAB 2AE
CE
---------------- Hết ---------------- 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 2 
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC 
Bài 1: (4,0 điểm) 
a) K có nghĩa 
x 0
x 2 x 3 0 x 0
x 1x 1 0
x 3 0
x x 26 x 19 2 x x 3 x 3 x 1
x 1 x 3
x 1 x 16x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3 x x x 16 x 16 x 16
x 3x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
x x 26 x 19 2 x x 3
K
x 2 x 3 x 1 x 3
b) Cho 
2
2
2018x 2019 1 x 2020
B
1 x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của B. 
(ĐK: 1 x 1 ) Đặt a 2019 , ta có 
2
2
2
a 1 a 1 a 1 x a 1
a M a
1 x
x a 1 x
B
1 x
2 2 2 22 2 2 2 2
2
2 2
2
22
2
a 1 x 2 a 1 x a 1 4a 1 x a 1 x 2 a 1 x a 1
M
1 x 1 x
a 1 x a 1
4a 4a do1 x 0, a 1 x a 1 0
1 x
M 2 a B 2 a a 2 2019 2019 
Đẳng thức xảy ra a 1 2018 1009a 1 x a 1 0 x
a 1 2020 1010
 (TMĐK) 
Bài 2: (4,5 điểm) 
a) n n n n n n n nn n n n n 5 18 12 25 18 12 5 7A 5 (5 1) 6 (3 2 ) 25  
lại có n n n n n n n n5 18 12 25 12 18 5 13A 25  ; mặt khác 7;13 1 A 7 13 91   
b) 2 22 2 3y 1 x 3y 8y 0 *x 8y 3(x xy y ) 3x 
Ta có 2 2 23y 1 12 3y 8y 27y 90y 1 . 
Do đó * có nghiệm 2 15 2 57 15 2 570 27y 90y 1 0 y y 0;1;2;3
9 9
+) 2y 0 x 0 x 3x 1 0 x 03x (vì x Z ) 
+) 2y 1 2x 5 0 x 1 3x 5 0 x 13x (vì x Z ) 
+) 2
5 73
y 2 5x 4 0 x
6
3x
 (loại, vì x Z ) 
+) 2
4 7
y 3 8x 3 0 x
3
3x
 (loại, vì x Z ) 
Vậy các cặp số nguyên x; y cần tìm là 0;0 ; 1;1 
c) ĐKXĐ: 
0 1
2
x
x
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 3 
2 2
2
2
2 2 1 21 x 3x 2 x 1 2 x 2x
x x
1 1 1 1
x 2 x 1 0 x 2 x 1 0
x x x x
1 5
x 0
1 2x 1 0 x x 1 0
x 1 5
x 0
2
1 1x 3x 2 1 x x 3x 2 x
x x
3 5
x
2
 (TMĐK) 
Bài 3: (3,5 điểm) 
a) (d) cắt (d’) 1 m m 1 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là: 
 5x 2 3 mx m 1 x 5 x
m 1
 (do m 1 ) 
Khi đó 5 3 2my 2
m 1 m 1
Tọa độ giao điểm của (d) và (d’) dương 
5
0 m 1 0 3m 1 1 m
3 2m 3 2m 0 2
0
m 1
 (TMĐK) 
b) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh minh 
22 2
1
a ba b
x y x y
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
1 2 0
2 0 0 , , ,
a y b x x y xy a b a xy a y b x b xy a xy b xy abxy
a y b x abxy ay bx Luon dung voi moi a b x y
Dấu “=” xảy ra khi 0 a bay bx
x y
Dựa vào (1) ta chứng minh 
22 2 2
2
a b ca b c
x y z x y z
 với a, b, c, x, y, z các số dương. 
Thật vậy 
2 22 2 2 2a b a b ca b c c
x y z x y z x y z
. Dấu “=” xảy ra khi a b c
x y z
Áp dụng (2), ta có: 
2
1 2 3 36 36
3
a b c a b c 12
1 4 9
a b c
 (vì 0 a b c 12 ) 
Dấu ”=” xảy ra 
a 21 2 3
b 4a b c
a b c 12 c 6
Bài 4: (4,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng năm điểm A, H, E, I, K cùng thuộc một đường tròn. 
Dễ dàng chứng minh tứ giác AHEK là hình vuông 
 A, H, E, K thuộc đường tròn đường kính HK 
Lại có 0HIK 90 I thuộc đường tròn đường kính HK 
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 4 
Vậy A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường 
kính HK 
b) Tính số đo góc HIB. 
 BDF CDK g.c.g BF CK , lại có 
BH AB AH AC AK CK BF BH 
mà 0HBF 90 BF AB  nên BHF vuông cân 
tại B 0HFB 45 
Tứ giác BHIF có 0HIF HBF 90 gt tứ 
giác BHIF nội tiếp 0HIB HFB 45 
c) Chứng minh rằng ba điểm B, E, I thẳng 
hàng. 
Ta có 0HAE 45 (do tứ giác AHEK là hình 
vuông) 
Vì A, H, E, K, I thuộc đường tròn đường kính HK (câu a) 
 0HIE HAE 45 , mặt khác 0HIB 45 (cmt) B, E, I thẳng hàng 
d) Tìm vị trí của E trên AD để diện tích tam giác ABI lón nhất. Tính giá trị lớn nhất 
đó theo a. 
ABI vuông tại I (gt), nên 
2 2
2 2
ABI
1 1 AI BI 1 1
S AI BI AB a
2 2 2 4 4
   
Đẳng thức xảy ra AI BI I D E D   
Vậy 2ABI
1
max S a E D
4
  
Bài 5: (4,0 điểm) 
a) Chứng minh AB.DC + AD.BC = BD.AC 
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K sao cho ABK CBD 
Ta có: ABK CBD ABD DBK KBC DBK ABD KBC 
Xét ABD và KBC: ABD KBC (cmt), ADB KCB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) 
Vậy ABD KBC (g.g) .  AD KC AD BC KC BD a
BD BC
Xét ABK và DBC: ABK DBC (gt), BAK BDC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) 
Vậy ABK DBC (g.g) .  AB DB AB DC AK BD b
AK DC
Từ a) và b) .     AB DC AD BC AK BD KC BD BD AK KC BD AC 
b) Chứng minh AE.BCAB 2AE
CE
Cần xem lại đề !!!!!! (Kiểm nghiệm trên sketpad dưới đây) 
I
F
KH
D C
A
B
E
OD
A B
C
K
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 5 
Trường hợp này đúng 
m CGD = 136,46m BAD = 136,46
m AC = 7,82 cm
m BA+2m AE -
m AEm CB
m CE
 = 0,00 cm
m CE = 1,93 cm
m AE = 7,82 cm
m BA = 6,34 cm
m BI-2m CI = 0,00 cm
m BI = 3,62 cm
m CI = 1,81 cm
m CB = 5,43 cm
EI
D
O
C
BA
Trường hợp này sai 
m CGD = 120,08m BAD = 120,08
m AC = 9,75 cm
m BA+2m AE -
m AEm CB
m CE
 = 1,70 cm
m CE = 3,48 cm
m AE = 10,61 cm
m BA = 8,56 cm
m BI-2m CI = 0,00 cm
m BI = 6,14 cm
m CI = 3,07 cm
m CB = 9,20 cm
E
I
D
O
C
BA
 GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Nguyy ễễ n Chíí Thanh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 6 
Bàn luận: Đẳng thức cần chứng minh AB CE 2AE CE AE BC *    
Áp dụng kết quả câu a) tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có: 
AB CE BE AC AE.BC  , do đó để chứng minh * ta cần chứng minh 
 CE AC2AE CE BE AC **
BE 2AE
  
Lại có  CD BAD CED BED EI là phân giác của BCE CE IC 1 IB 2IC
BE IB 2
Nên để chứng minh ** ta chứng minh AC 1 AC AE
2AE 2
 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 
Cần thêm điều kiện gì thì mới có AC = AE đây ! (Mời các bạn suy nghĩ nhé, tui đau 
đầu rồi)