Một số đề ôn thi vào lớp 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

 MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT
 ĐỀ SỐ 1
 2 3 5 x 7 2 x 3
Câu 1) Cho biểu thức A : 
 x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x
 x 0, x 4 .
 1) Rút gọn biểu thức A .
 2) Tính giá trị của A khi x 3 2 2
 3) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 2) Cho phương trình x2 m 1 m2 m 2 0 , với m là tham số.
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với 
 mọi m .
 b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 . Tìm m để biểu 
 3 3
 x x 
 thức A 1 2 đạt giá trị lớn nhất.
 x2 x1 
Câu 3) Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận 
tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc 
dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.
Câu 4) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn O ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB 
cát tuyến KCD đến O sao cho tia KC nằm giữa hai tia KA, KO . Gọi 
H là trung điểm CD . 
a) Chứng minh: 5 điểm A, K, B,O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: Tứ giác MODC nội tiếp.
c) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh 
 CI  OB . Câu 5) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 y2 z2 2 . Chứng 
minh rằng: x y z xyz 2 .
 ĐỀ SỐ 2
Câu 1) Cho biểu thức: 
 2 a b a a3 2 2b3 
P . a .
 3 3 a 2ab 2b 2b 2ab 
 a 2 2b 
 a) Tìm điều kiện của a và b để biểu thức P xác định. Rút gọn biểu 
 thức P .
 3 1 3
 b) Biết a 1 và b . Tính giá trị của P .
 2 2 4
Câu 2) Cho phương trình 2x2 2mx m2 2 0 , với m là tham số. Gọi 
x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m .
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 
 2x1x2 3
 A 2 2 .
 x1 x2 2 x1x2 1 
Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định 
chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã 
tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và 
mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu 
chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.
 x my m 1
Câu 4) Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ trên có 
 mx y 3m 1 
nghiệm duy nhất sao cho x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5) Cho nửa đường tròn O; R đường kính BC . A là một điểm di 
động trên nửa đường tròn. Vẽ AH vuông góc với BC tại H . Đường tròn 
đường kính AH cắt AB, AC và nửa đường tròn O lần lượt tại D, E, M . 
AM cắt BC tại N .
a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ·AME ·ACN .
 DE3
b) Tính theo R và chứng minh rằng D, E, N thẳng hàng.
 BD.CE
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABH lớn nhất.
Câu 6) Cho x, y 0 và x2 y3 x3 y4 . Chứng minh rằng: x3 y3 2 .
 ĐỀ SỐ 3
 a3 b3 a b
Câu 1) Cho b a 0 . Xét biểu thức: P 
 a b a b b a
.
 a) Rút gọn P .
 b) Biết a 1 b 1 2 ab 1, hãy tính giá trị của biểu thức P .
Câu 2) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y mx 4 .
 a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân 
 biệt A, B .Gọi x1, x2 là hoành độ của các điểm A, B . Tìm giá trị 
 2 x1 x2 7
 lớn nhất của Q 2 2 .
 x1 x2
 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 .
Câu 3) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A, B 
cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5h. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô tô đến B và xe máy đến A biết rằng vận tốc của xe máy 
 2
bằng vận tốc của ô tô.
 3
Câu 4) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB AC . Gọi H là hình chiếu 
của A trên BC và M là một điểm đối xứng của H qua AB . Tia MC cắt 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại điểm P P M . Tia HP cắt 
đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại điểm N N P .
 a) Chứng minh rằng HN MC .
 b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác APC . Chứng minh rằng EN song song với BC .
 c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác APC . Chứng minh rằng H là trung điểm BK .
Câu 5) Cho các số a,b,c không âm. Chứng minh rằng 
a3 b3 c3 a2 bc b2 ca c2 ab .
 ĐỀ SỐ 4
 6x 4 3x 1 3 3x3 
Câu 1) Cho biểu thức P 3x 
 3 3x 2 3x 4 1 3x 
 3 3x 8 .
 a) Rút gọn P .
 b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.
Câu 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P có phương trình 
 x2
y . Gọi d là đường thẳng đi qua I 0; 2 và có hệ số góc k .
 2
 a) Viết phương trình đường thẳng d . Chứng minh đường thẳng d 
 luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B khi k thay đổi.
 b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục 
 hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I . 1 1 9
 x y 
 x y 2
Câu 3) Giải hệ phương trình .
 1 5
 xy 
 xy 2
Câu 4) Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn O . Từ A 
vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn O ( B,C là hai tiếp điểm). Gọi 
H là giao điểm của AO và BC. Qua A vẽ cát tuyến ADE của đường tròn 
 IO ; D và E thuộc đường tròn O sao cho đường thẳng AE cắt đoạn 
thẳng HB tại I . Gọi M là trung điểm dây cung DE .
a) Chứng minh AB2 AD.AE .
b) Chứng minh năm điểm A, B, M ,O,C cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp.
d) Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho H là trung điểm DF . Tia 
AO cắt đường thẳng EF tại K . Chứng minh IK / /DF .
 1 a b b c c a
Câu 5) Cho a,b,c ;1 . Chứng minh rằng: 2 3 .
 2 1 c 1 a 1 b
 ĐỀ SỐ 5
 x 3 x 2 x 2 x 
Câu 1) Cho 
 P : 1 
 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm x nguyên để P 0.
 1
 c) Tìm x để Q nhỏ nhất.
 P
Câu 2) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y m 5 x m với 
m là tham số. a) Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
 b) Gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 là các giao điểm của d và P . Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của biểu thức M x1 x2 .
Câu 3) Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe 
máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi 
gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút 
nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt 
chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô. 
Câu 4) Cho dường tròn O và dây cung BC không là đường kính. Gọi A 
là điểm chính giữa của cung lớn BC . Các tiếp tuyến tại B,C của O cắt 
nhau tại S . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung 
điểm của CH . Tia AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai N .
 a) Gọi D là giao điểm của SA với BC . Chứng minh tứ giác CMDN 
 nội tiếp.
 b) Tia SN cắt đường tròn O tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng 
 CE song song với SA
 c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng 
 SD .
 3 3 2 2
 x y 7 x y xy 8xy 2 x y 
Câu 5) Giải hệ phương trình: 
 y 2x 3 6 2x
 MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN
 ĐỀ SỐ 6.
Câu 1) Giải phương trình: x2 x 6 2x x 3 4 x x 3
 Câu 2) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn 
a b c a b c 2 . Chứng minh rằng: 
 a b c 2
 .
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 
 n n
 3 5 3 5 
Câu 3) Chứng minh: a 2 là số chính phương 
 n 
 2 2 
với mọi số tự nhiên lẻ.
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao 
AD, BE,CF đồng quy tại điểm H . Đường thẳng CH cắt (O) tại điểm G 
khác C . GD cắt (O) tại điểm K khác G . 
 a) Chứng minh OA vuông góc với EF .
 b) Chứng minh: AK đi qua trung điểm M của DE .
 c) Gọi N là trung điểm của DF , AN cắt (O) tại điểm L khác A 
 .Chứng minh 4 điểm M , L, N, K cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5) Cho a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 1.
 a2 b2 c2 3
Chứng minh rằng: .
 1 2bc 1 2ca 1 2ab 5
Câu 6) Cho tập hợp M gồm 1009 số nguyên dương đôi một khác nhau và 
số lớn nhất trong M bằng 2016 . Chứng minh rằng trong tập M có hai số, 
mà số này là bội của số kia.
 ĐỀ SỐ 7.
Câu 1) Giải phương trình x4 4x3 6x2 4x x2 2x 17 3 .
 2015
Câu 2) Tìm ba chữ số tận cùng của A = 266 .
Câu 3) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:x 3 - y 3 = xy + 8.
 3 26 15 3. 2 3 
 b) Biết x . Tính giá trị của biểu thức 
 3 9 80 3 9 80
 2016
 P 3x3 x2 1 
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại A của (O) 
cắt tiếp tuyến tại B,C của (O) lần lượt tại S,T . BT cắt AC tại E , 
CS cắt AB tại F . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của 
BE,CF, AB, AC . Đường thẳng BQ,CP cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là 
K, L .
 a) Chứng minh: ABK# EBC .
 b) Chứng minh tứ giác PQKL nội tiếp.
 c) Chứng minh: B· CM C· BN .
Câu 5) Với n là số tự nhiên, n 2 , cho n số nguyên x1, x2 ,..., xn thỏa mãn:
 2 2 3 2 3 2
x1 x2 x2 ... xn n 2n 1 x1 x2 ... xn n
Chứng minh rằng:
 a) Các số xi i 1,2,...,n là số nguyên dương.
 b) Số x1 x2 ... xn n 1 không là số chính phương.
 ĐỀ SỐ 8
 2 2
Câu 1) Giải phương trình x 9 x .
 x 1 3 2
 x 3y 6y 11 0
Câu 2) Cho các số x, y thỏa mãn: 2 2 2 .Tính giá trị 
 x y x 3 2y 3 0
của P x3 y3 .
Câu 3) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 22012 22015 2n là số chính 
phương.
Câu 4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB AC . Tiếp tuyến tại A 
của (O) cắt BC tại T Dựng đường kính AD , OT cắt BD tại điểm E .Gọi 
M là trung điểm của BC .
 a) Chứng minh: E· OD ·AMC .
 b) Chứng minh: AE / /CD .
 c) Giả sử BE cắt AT tại điểm F . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 AEF cắt OE tại điểm G khác E . Chứng minh tâm đường tròn nội 
 tiếp tam giác AGB nằm trên (O) .
Câu 5) Cho tập hợp X 1,4,7,10,...,100 . Gọi A là một tập con của tập 
X mà số phần tử của A bằng 19. Chứng minh rằng trong A có hai phần tử 
phân biệt mà tổng của chúng bằng 104.
 ĐỀ SỐ 9.
Câu 1) Cho các số x, y, z thỏa mãn x 1 2y2 y 4 6z2 z 15 3x2 4
.
Tính giá trị của biểu thức P x2 2y2 3z2 .
 1 1 1 1
Câu 2) Tìm phần nguyên của : A 1 ... .
 2 3 20142 20162
Câu 3) xy 3x y 4
 a) Giải hệ phương trình: .
 3
 7x 11 3 x y x y 1 
 b) Cho a,b là các số nguyên dương phân biệt sao cho ab a b chia 
 hết cho a2 ab b2 . Chứng minh rằng: a b 3 ab
Câu 4) Cho tam giác ABC , trên đoạn thẳng AC lấy điểm P , trên đoạn 
 PA QP
thẳng PC lấy điểm Q sao cho . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 PC QC
ABQ cắt BC tại điểm R khác B . Đường tròn ngoại tiếp tam giác 
PAB, PQR cắt nhau tại điểm S khác P , SP cắt AB tại điểm D .
 a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 PBR .
 b) Chứng minh tam giác CSP cân.
 c) Chứng minh 4 điểm B, S, R, D cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5) Chứng minh rằng m,n là các số nguyên dương và n m luôn có
 m n m !
 n 1 nm 2m m!. (quy ước 0! 1)
 n m !
 ĐỀ SỐ 10
Câu 1) Giải phương trình: 35 2 45 2x x 5 .
 2n 1
Câu 2) Chứng minh: A 22 3 là hợp số với mọi số nguyên dương n 1
.
Câu 3) Cho tập hơp A có các tính chất sau:
 a) Tập A chứa toàn bộ các số nguyên.
 b) 2 3 A