Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phương trình vô tỉ

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
 Bài 1. Giải phương trình : 
HD: Điều kiện : 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Ta có : = 4
Dấu “ = ” xảy ra (1)
Mặt khác : 
Dấu “=” xảy ra (2)
Kết hợp (1) và (2) 
Phương trình có nghiệm duy nhất là : 
Bài 2. Giải phương trình : 
HD : ĐKXĐ : . Khi đó, ta có :
Đặt . Phương trình đã cho trở thành :
*) Trường hợp 1 : 
 (thỏa mãn)
*) Trường hợp 2 :
 (phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
Bài 3. Giải phương trình . (1)
Vậy TXĐ: 
- Nếu thì VP(1) (không thỏa mãn)
- Nếu thì (1) 
Từ (1) và (2) suy ra 
Thử lại. Với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 4: Giải các phương trình
 a) 
 b) 
Hướng dẫn: 
a,(1)
ĐK: 
 (1) + = + 
Đặt: 
(1) 	 a.b + c = b + a.c
 a(b - c) - (b - c) = 0
(a - 1)(b - c) = 0	 
Với a = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk)
Với b = c x - 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2
b) 
Đặt (với )
Khi đó, ta có: 
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 5. Giải phương trình: .
1) (1), điều kiện 
Đặt ;
Suy ra Thay vào (1) ta được (do nên a+b+1>0)
Với a = b ta có thỏa mãn điều kiện
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 6. Giải phương trình 
Điều kiện 	
Đặt 
Khi đó (2) trở thành 
Với t = 1 ta có vô nghiệm.
Với ta có 
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là 
Bài 7. Giải phương trình: .(1)
Đặt (
Từ (1) (2)
Vì , từ (2) suy ra: . Vì vậy (3)
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 
Bài 8. Giải phương trình 
 ĐK : (*)
Vì < 0
nên 
Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) . vậy x= 2 là nghiệm của phương trình
Bài 9. Giải phương trình . 
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ –2014
Đặt t = Þ t 2 = x + 2014 (t ≥ 0)
Ta có hệ sau : 
Trừ vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được :
t2 – x2 – x – t = 0 
Û (t+x)(t – x – 1) = 0 Û t = –x hoặc t = x + 1
Với t = –x ta có : (–x)2 = x + 2014 Û x2 – x – 2014 = 0 (*)
Giải (*) được nghiệm x = (loại vì t ≥ 0) hoặc x = 
Với t = x + 1 ta có: (x + 1)2 = x + 2014 Û x2 + x – 2013 = 0 (**)
Giải (**) được nghiệm x = hoặc x = (loại vì t≥0)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = hoặc x = 
Bài 10. Giải phương trình: 
a) Điều kiện: . 
Đặt Þ 
Ta có hệ PT: 
Giải hệ này ta được 
Þ Û .
Thử lại, ta thấy là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm .
Bài 11. Giải phương trình: ; ĐKX Đ: 
PT
 Vì 
x=1 thỏa mãn ĐKXD. Vậy Pt có tập nghiệm S={1}
Bài 12. (Tỉnh PT 2016 - 2017) a) Giải phương trình 
 b) Giải phương trình 
HD: 
Bài 13 Giải phương trình: 
 HD. ĐK: 
Đặt . (
Phương trình trở thành 
 ( Vì a+b+10 > 0 do a,b > 0 )
Bài 14 Giải phương trình: 
Hướng dẫn: ĐKXĐ: (*)
 - PT tương đương với 
 - Đặt ; được PT: 
 +/ Với thì (vô nghiệm)
 +/ Với thì có hai nghiệm đều t/m (*)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là: 
Bài 15 Giải phương trình: 
- ĐK: x 1
 - Ta có : 
 - Vì 
Dấu bằng xảy ra khi : 
 - Vậy nghiệm của PT đã cho là 
Bài 16. a) Giải phương trình: .
b) Giải phương trình sau trên tập số thực 2x2 + x + + 2x= 9) 
Ta có : 
Đặt = y ()
PT (*)
 +)y = 2x – 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Bài tập về nhà : 
Giải các phương trình sau :
a) . b) 
c) 
d) 
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) ; 2) 
 3) ; 4) 
5) 
6) 7) 
8) 
9) 10) 
11) 
12) (CK)
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
27) 
28) 
29) 
31) 
Chúc các trò ngoan học giỏi!
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (II)
1) ; 2) 
3) 4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) . (CHV)
23) (TPT)
24) . 
26) 
27) 
28) 
29) 
Chúc các em học giỏi!
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (III)
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 
2) = 0
3) 
4) 
5) 
6)= 0
7) 
8) 
9) 
10) 
Chúc các em học giỏi!