Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Nam Trực (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC
Câu 1: (4,0 điểm)
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1. Rút gọn biểu thức: P , với x 0; x 1.
 x x 1 x x 1
 100 50
 2. Cho x 3 2 , tính giá trị biểu thức A 7 x2 4x x2 4x 2016 . 
Câu 2: (4,0 điểm)
 1. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x 3 y2 .
 2. Giải phương trình: x2 12 5 3x x2 5 .
Câu 3: (3,0 điểm)
 x y z 2
 Giải hệ phương trình: .
 2
 2xy z 4
Câu 4: (2,0 điểm)
 Cho x, y, z 0 và x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x2 y2 z2
 P 
 y z z x x y
Câu 5: (7,0 điểm)
 1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B,C ( d 
 không đi qua O ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A nằm ngoài đường tròn tâm O ). Kẻ 
 AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N . Gọi I là trung điểm của 
 BC , AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q ( P nằm giữa A và O ), BC
 cắt MN tại K . 
 2
 a, Chứng minh 4 điểm O, M , N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK.AI AM .
 b, Gọi D là trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP
 tại E . Chứng minh P là trung điểm ME . 
 2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường 
 1
 tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường 
 9
 tròn.
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo danh: . LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1: (4,0 điểm)
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1. Rút gọn biểu thức: P , với x 0; x 1.
 x x 1 x x 1
 100 50
 2. Cho x 3 2 , tính giá trị biểu thức A 7 x2 4x x2 4x 2016 . 
 Lời giải
 x2 x 2x x 2 x 1 
 1. Ta có P 
 x x 1 x x 1
 8
 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 
 x x 1 x x 1
 x x 1 2 x 1 2 x 1 
 x x 1.
 2
 2. Ta có: x 3 2 x 2 3 x 2 3 x2 4x 1 0 x2 4x 1. Suy ra:
 A 7 1 100 1 50 2016 2024
Câu 2: (4,0 điểm)
 1. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x 3 y2 .
 2. Giải phương trình: x2 12 5 3x x2 5 .
 Lời giải
 1. Với x 0 thì y 2 hoặc y 2 .
 Với x 1 thì y2 5 (loại).
 Với x 2 thì VT chia 4 dư 3. Vì VT là số tự nhiên lẻ nên y là số tự nhiên lẻ. Từ đó suy ra VP 
 chia 4 dư 1 vô lí.
 Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là x; y 0;2 .
 5
 2. Để phương trình có nghiệm thì x2 12 x2 5 3x 5 0 x . Khi đó ta có:
 3
 x2 4 x2 4
 x2 12 4 3x 6 x2 5 3 3 x 2 
 x2 12 4 x2 5 3
 x 2 x 1 
 x 2 3 0 x 2
 x2 12 4 x2 5 3 
 5 x 2 x 1
 Do x ta chứng minh được 3 0 .
 3 x2 12 4 x2 5 3
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2 .
Câu 3: (3,0 điểm)
 x y z 2
 Giải hệ phương trình: .
 2
 2xy z 4 Lời giải
 Ta có:
 x y z 2 z 2 x y z 2 x y z 2 x y 1 
 2 2 2 2 2
 2xy z 4 2xy z 4 2xy 2 x y 4 x 2 y 2 0 2 
 x 2
 Từ phương trình (2) ta giải được .
 y 2
 Thay vào phương trình (1) ta được z 2 .
Câu 4: (2,0 điểm)
 Cho x, y, z 0 và x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x2 y2 z2
 P 
 y z z x x y
 Lời giải
 x2 y z
 Vì x, y, z 0 nên áp dụng BĐT Côsi đối với hai số dương và ta được:
 y z 4
 x2 y z x2 y z x
 2 . 2 x 1 .
 y z 4 y z 4 2
 Tương tự ta có:
 y2 z x
 y 2 
 z x 4
 z2 x y
 z 3 
 x y 4
 Cộng 1 2 3 , ta được:
 x y z
 P x y z 1
 2
 2 2
 Dấu “=” xảy ra x y z . Vậy min P 1 x y z .
 3 3
Câu 5: (3,0 điểm)
 1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B,C ( d 
 không đi qua O ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A nằm ngoài đường tròn tâm O ). Kẻ 
 AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N . Gọi I là trung điểm của 
 BC , AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q ( P nằm giữa A và O ), BC
 cắt MN tại K . 
 2
 a, Chứng minh 4 điểm O, M , N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK.AI AM .
 b, Gọi D là trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP
 tại E . Chứng minh P là trung điểm ME . 
 2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường 
 1
 tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường 
 9
 tròn.
 Lời giải M
 Q
 P
 H O D
 A
 B
 K
 I d
 C
 N
 E
a, * Ta có I là trung điểm BC (dây BC không đi qua O ) nên OI  BC O· IA 90o .
Suy ra I thuộc đường tròn đường kính AO (1).
Ta có ·AMO 90o (do AM là tiếp tuyến của O ) nên M thuộc đường tròn đường kính AO (2).
Ta có ·ANO 90o (do AN là tiếp tuyến của O ) nên N thuộc đường tròn đường kính AO (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra 5 điểm A, M , N,O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO .
Suy ra 4 điểm O, M , N, I cùng thuộc đường tròn đường AO .
* Ta có AM , AN là hai tiếp tuyến của O cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của góc 
 M· ON . Mà OMN cân tại O nên OA  MN .
Ta có AMO vuông tại M có đường cao MH nên suy ra AH.AO AM 2 .
Ta có AHK đồng dạng với AIO (vì ·AHK ·AIO 90o và O· AI chung) nên 
 AK.AI AH.AO .
Vậy AK.AI AM 2 . (đpcm)
b, Ta có M thuộc đường tròn O nên P· MQ 90o .
Xét MHE và QDM có M· EH D· MQ (cùng phụ với D· MP ), E· MH M· QD (cùng phụ 
với M· PO ).
 ME MH
Suy ra MHE : QDM . Do đó ta được .
 MQ DQ
 MP MH MH MP 1 ME
Tương tự ta có PMH : MQH .
 MQ HQ 2DQ MQ 2 MQ
Suy ra ME 2MP . Vậy P là trung điểm ME . (đpcm). * Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 
0,1 m.
Vì đường kính của mỗi đường tròn lớn hơn 0,1 m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 
đường thẳng vừa kẻ cắt.
Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6 54 .
Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có 1 đường thẳng cắt 7 đường tròn. 
 ..HẾT