Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Hà Trung (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HÀ TRUNG
 NĂM HỌC 2008 – 2009
 Thời gian : 150 phỳt
Câu 1: ( 2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau.
a. 8 2 15 8 2 15
 2 3 5 13 48
b. 
 6 2
 sin 2 x cos 2 x
c. 1- 
 1 cot gx 1 tgx
 x 2 x 1 1
Câu 2: ( 3,0 điểm) Cho biểu thức A= 
 x x 1 x x 1 x 1
 a. Rút gọn biểu thức A
 b. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2
 1
 c. Chứng minh A<
 3
Câu 3: (1,5 điểm) Giải phương trình:
 16 4 256
 x 6 y 2 z 1750 44
 x 6 y 2 z 1750
Câu 4: ( 3,0 điểm)
 1 1 2
 a. Cho hai số a và b thoả mãn a 1; b 1. Chứng minh 
 1 a 2 1 b 2 1 ab
 b. Cho 2 số dương x; y thoả mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D=
 9
 x 2 3x y 2 3y 
 x 2 y 2 1
Câu 5 (5,0 điểm): 
 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AD, N là trung điểm của 
cạnh BC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm P. Đường thẳng PM cắt AC tại Q và cắt đường 
thẳng BC tại tại S. Đường thẳng QN cắt đường thẳng DC tại R. Chứng rẳng:
 a. NPR là tam giác cân
 b. MN là tia phân giác của góc PNQ
 MQ SQ
 c. 
 MP SP
Câu 6 (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và 
 1
BC; CE cắt DF ở M. Chứng minh rằng: SMCD = S
 5 ABCD
Câu 7: (3,5 điểm)Cho x2 y2 z2 3 . 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2z .
 1 Hướng dẫn chấm môn toán 
Câu 1: ( 2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau.
a. 8 2 15 8 2 15 = ( 5 3) 2 ( 5 3 ) 2 ( 0,25 điểm)
 = 5 3 5 3 2 3 ( 0,25 điểm)
 2 3 5 13 48 2 3 5 (2 3 1) 2
b. =
 6 2 6 2
 2 3 5 2 3 1 2 3 4 2 3
= = ( 0,25 điểm)
 6 2 6 2
 2 3 ( 3 1) 2 2 3 3 1 2 2 3 2 4 2 3
= = = = ( 0,25 điểm)
 6 2 6 2 6 2 6 2
 2( 3 1)
= 1 ( 0,25 điểm)
 2( 3 1)
 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x
c. 1- = 1- =1- ( 0,25 điểm)
 1 cot gx 1 tgx cos x sin x sin x cos x sin x cos x
 1 1 
 sin x cos x
 (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin x.cos x)
 =1- ( 0,25 điểm)
 (sin x cos x)
 = 1- (1-sinx.cosx)= sinx.cosx ( 0,25 điểm)
 x 2 x 1 1
Câu 2: ( 3,0 điểm) Cho biểu thức A= 
 x x 1 x x 1 x 1
 a. Rút gọn biểu thức A
 ĐKXĐ: x 0; x 1 ( 0,25 điểm)
 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x x 1
 A= = ( 0,5 điểm)
 x x 1 x x 1 x 1 ( x 1)(x x 1)
 x x x( x 1) x
 = ( 0,75 điểm)
 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1
 b. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2
 2
 Ta có x=33-8 2 = 4 2 1 x 4 2 1 ( 0,25 điểm)
 4 2 1 4 2 1
 A= ( 0,25 điểm)
 33 8 2 4 2 1 1 33 4 2
 1
 c. Chứng minh A<
 3
 1 x 1 3 x x x 1 (x 2 x 1) ( x 1) 2
 Xét A- = = ( 0,5 điểm)
 3 x x 1 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x x 1)
 ( x 1) 2 0 ( x 1) 2
 Do x 0; x 1 0 ( 0,25 điểm)
 3(x x 1) 0 3(x x 1)
 2 1 1
 A- 0 A< ( 0,25 điểm)
 3 3
Câu 3: (1,5 điểm) Giải phương trình:
 16 4 256
 x 6 y 2 z 1750 44
 x 6 y 2 z 1750
ĐKXĐ: x 6; y 2; z 1750. ( 0,25 điểm)
 16 4 256
 x 6 y 2 z 1750 44
 x 6 y 2 z 1750
 16 x 6 4 y 2 256 z 1750 
 8 4 32 =0 ( 0,25 
 x 6 x 6 y 2 y 2 z 1750 z 1750 
điểm)
 16 8 x 6 x 6 4 4 y 2 y 2 256 2.16 z 1750 z 1750 
 =0 ( 0,25 
 x 6 y 2 z 1750 
điểm)
 2 2 2
 4 x 6 2 y 2 16 z 1750
 =0 ( 0,25 điểm)
 x 6 y 2 z 1750
 4 x 6 0 x 22
Do x 6; y 2; z 1750.nên 2 y 2 0 y 6 ( 0,25 điểm)
 16 z 1750 0 z 2006
Vậy phương trình có nghiệm x=22; y=6; z=2006 ( 0,25 điểm)
Câu 4: ( 3,0 điểm)
a. ( 1,5 điểm) 
 1 1 2 1 1 1 1 
 Xét = = ( 0,25 điểm)
 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1 ab 
 ab a 2 ab b 2
 = ( 0,25 điểm)
 (1 a 2 )(1 ab) (1 b 2 )(1 ab)
 a(b a)(1 b 2 ) b(a b)(1 a 2 ) (b a)(a ab 2 b a 2b)
 = = ( 0,25 điểm)
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 (b a) 2 (ab 1)
 = ( 0,25 điểm)
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 (b a) 2 (ab 1)
 Do a 1; b 1nên 0 ( 0,25 điểm)
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 1 1 2 1 1 2
 0 ( 0,25 điểm)
 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 b 2 1 ab
b. (1,5 điểm)
 9 9
Ta có D= x 2 3x y 2 3y =(x2+y2+1)+3x+3y+ -1 ( 0,25 điểm)
 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 2 2 9 2 2 9
(x +y +1)+3x+3y+ 4 4 3x.3y(x y 1). =4 4 81xy ( 0,25 điểm)
 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
 3 9
 (x2+y2+1)+3x+3y+ 4 4 81xy =4.3=12 (vì xy=1) ( 0,25 điểm)
 x 2 y 2 1
 Dấu “=” xảy ra khi x=y=1 ( 0,25 điểm)
 D 12-1=11 ( 0,25 điểm)
 Vậy giá trị nhỏ nhât của biểu thức D bằng 11 khi x=y=1 ( 0,25 điểm)
Cõu 5 P D C R
 O
 M Q N
 A B
 S
a. (2,0 đ)
Gọi O là giao điểm củaAC và BD.Tứ giác ANCM là hình bình hành
 OM = ON
Lại có MN//PRTheo định lý talét ta có
 MO QO
 PC QC
 PC CR
 ON QO
 CR QC
 NPR cân tại N
b. (1,75 đ) Ta có MN//PR nên Qã NM Qã RP và Pã NM Nã PR
Ta có Nã RP Qã PR ( NPR cân) Qã NM Pã NM . Hay MN là tia phân giác của góc PNQ
 MQ NQ
c. (1,75 đ)Ta có MN là tia phân giác của góc PNQ (1)
 MP NP
Ta có NS NM và MN là tia phân giác của góc PNQ nên NS là phân giác ngoài của góc 
 SQ NQ
PNQ (2)
 SP NP
 MQ SQ
Từ (1) và (2) ta có 
 MP SP
Cõu 6
 D C
C/m DCF = CBE
rút ra CMD vuông tại M
C/m CMD đồng dạng FCD
 DC CM
 FD FC M F
 2 2
 SCMD CD CD
 2 SCMD 2 .SFCD
 SFCD FD FD
 4 A
 E B 1 1 1 1
 Mà S CF.CD . BC.CD CD2
 FCD 2 2 2 4
 CD2 1 1 CD4
 Vậy S . CD2 
 CMD FD2 4 4 FD2
 5
 áp dụng định lý pi ta go ta có DF2 =CD2+CF2 = CD2
 4
 1 CD4 1 CD4 1 1
 S . CD2 S
 CMD 2 5 ABCD
 4 FD 4 CD2 5 5
 4
Câu 7: (3,5 điểm)Cho x2 y2 z2 3 . 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2z .
Câu 7 Ta cú: x2 y2 z2 3 6x2 6y2 6z2 18 
(x2 y2 4z2 2xy 4xz 4yz) (x2 2xy y2 ) (4x2 4xz z2 ) (4y2 4yz z2 ) 18
 (x y 2z)2 (x y)2 (2x z)2 (2y z)2 18
Vỡ (x y)2 0;(2x z)2 0;(2y z)2 0.
 Suy ra (x y 2z)2 18 3 2 x y 2z 3 2 .
 x y 0
 2x z 0 2
Vậy Min P 3 2 x y ; z 2
 2y z 0 2
 x y 2z 3 2
 x y 0
 2x z 0 2
 Max P 3 2 x y ; z 2
 2y z 0 2
 x y 2z 3 2
Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
 - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25
 5