Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Bảo (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VĨNH BẢO 2013-2014
 x y x y x y 2xy 
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rút gọn biểu thức P .
 2
 b) Tính giá trị của P với x .
 2 3
Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi D và L lần lượt là đồ thị của hai 
 1 3
 hàm số: y x và y x .
 2 2
 a) Vẽ đồ thị D và L .
 b) D và L cắt nhau tại M và N . Chứng minh OMN là tam giác vuông.
 4 3 2
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x 6 0.
Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a , vẽ một đường thẳng cắt 
 cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I . 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: .
 AM2 AI2 a 2
Bài 5: (6 điểm) 
 / /
 Cho hai đường tròn O và O ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO cắt đường tròn O và 
 /
 O tại các điểm A , B , C , D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF , E 
 / 
 O và F O . Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC . 
 Chứng minh rằng:
 a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
 b) MN  AD .
 c) ME.MA MF.MD .
 ---------- Hết ----------
 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VĨNH BẢO 2013-2014 x y x y x y 2xy 
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rút gọn biểu thức P .
 2
 b) Tính giá trị của P với x .
 2 3
 Lời giải:
 a) ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1.
 Mẫu thức chung là 1 – xy 
 ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy
 P :
 1 xy 1 xy
 x x y y y x x x y y y x 1 xy
 .
 1 xy 1 x y xy
 2( x y x) 2 x(1 y) 2 x
 (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x
 2 2(2 3) 2
 b) x 3 2 3 1 ( 3 1)
 2 3 4 3
 x ( 3 1)2 3 1 3 1
 2( 3 1) 2 3 2
 P 
 1 ( 3 1)2 1 3 2 3 1
 2( 3 1) 6 3 2
 P 
 5 2 3 13
Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi D và L lần lượt là đồ thị của hai 
 1 3
 hàm số: y x và y x .
 2 2
 a) Vẽ đồ thị D và L .
 b) D và L cắt nhau tại M và N . Chứng minh OMN là tam giác vuông.
 Lời giải: 3
 1 3 x 0 y 
 a) thị y x có : 2
 2 2
 y 0 x 3
 x khi x 0
 Đồ thị y x 
 x khi x 0
 Đồ thị như hình vẽ:
 y
 N
 3
 (L)
 (D)
 3/2
 M
 1
 - 3 O 1 3 x
 b) Đồ thị D và L cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M 1; 1 và N 3; 3 
 Ta có: OM 12 12 2 OM2 2 
 ON 32 ( 3)2 3 2 ON2 18 
 MN (1 3)2 (1 3)2 20 MN2 20 
 2 2 2
 Vì: OM ON MN 
 Vậy: tam giác OMN vuông tại O . 
 4 3 2
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x 6 0.
 Lời giải:
 Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình
 Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
 2 5 6
 6x 5x 38 0
 x x2
 2 1 1
 6(x ) 5(x ) 38 0
 x2 x 1 2 1 2
 Đặt y x thì: x y 2
 x x2
 2
 Ta được pt: 6y – 5y – 50 0 3y –10 2y 5 0
 10 5
 Do đó: y và y 
 3 2
 10 1 10
 * Với y thì: x 3x2 10x 3 0
 3 x 3
 1
 x 
 3x –1 x – 3 0 1 3
 x2 3
 5 1 5 2
 * Với y thì: x 2x 5x 2 0
 2 x 2
 1
 x 
 2x 1 x 3 0 3 2
 x4 2
Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a , vẽ một đường thẳng cắt 
 cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I . 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: .
 AM2 AI2 a 2
 Lời giải:
 A B
 M
 J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J .
 Ta có AIJ vuông tại A , có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ , nên:
 1 1 1
 1 
 AD2 AJ2 AI2
 Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM , ta có:
 AB AD a ; D· AJ B· AM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 ADJ = ABM . Suy ra: AJ AM
 1 1 1 1
 Thay vào 1 ta được: (đpcm)
 AD2 AM2 AI2 a 2
Bài 5: (6 điểm) 
 ' '
 Cho hai đường tròn O và O ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO' cắt đường tròn O và O 
 tại các điểm A , B , C , D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF , E O 
 ' 
 và F O . Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC . Chứng 
 minh rằng:
 a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
 b) MN  AD .
 c) ME.MA MF.MD .
 Lời giải:
 M
 E
 I
 F
 H
 A O D
 B C O /
 N 0
a) Ta có A· EB C· FD 90 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
 '
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và O , nên:
 '
OE  EF và OF  EF O'E // O F 
=> E· OB F·O'D (góc đồng vị) E· AO F· CO'
 0
Do đó MA // FN , mà EB  MA EB  FN Hay E· NF 90 .
 O
Tứ giác MENF có Eµ Nµ F 90 , nên MENF là hình chữ nhật.
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF ; H là giao điểm của MN và AD
Vì MENF là hình chữ nhật, nên I·FN I·NF
 ' 1
Mặt khác, trong đường tròn O : I·FN F· DC sđ F»C
 2
 F· DC H· NC FDC ∽ HNC (g – g)
 O
 N· HC D· FC 90 hay MN  AD 
c) Do MENF là hình chữ nhật, nên M· FE F· EN
 1
Trong đường tròn O có: F· EN E· AB sđ E»B
 2
=> M· FE E· AB Suy ra M ∽ MDA (g – g)
 ME MF
=> , hay ME.MA MF.MD.
 MD MA