Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Ba Đình (Có đáp án)

 PGD ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 Năm học 2017 – 2018
 Môn: Toán – Lớp 9
Bài 1 (4 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
 A 29 12 5 2 3 16 8 5 
 a a2 b2 a a2 b2 a4 a2b2
 B : (với a 0;b 0; a b )
 2 2 2 2 2
 a a b a a b b
Bài 2: (4điểm)
 a) Giải phương trình: 3 x x 3 x
 b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3
 a b c 2018
 Chứng minh rằng: 
 1 b2 1 c2 1 a2 2003
Bài 3 (4 điểm): Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với 
đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=2ON. 
Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M, tính tỉ số AM .
 AO
Bài 4: (4đ) Cho ∆ ABC vuông tại A. Các tứ giác MNPQ và ADEF là các hình vuông 
sao cho: M thuộc cạnh AB; N,P thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AC; D,E,F tương ứng 
thuộc cạnh AB, BC, CA. So sánh diện tích 2 hình vuông MNPQ và ADEF.
Bài 5 (4 điểm)
 1. Tìm tất cả các số nguyên x để x 19 ; 2x 10 ; 3x 13 ; 4x 37 đều là số 
 nguyên.
 2. Trong một buổi gặp mặt có 294 người tham gia, những người tham gia, những người 
 quen nhau bắt tay nhau. Biết nếu A bắt tay B thì một trong hai người A và B bắt tay 
 không quá 6 lần. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cái bắt tay.
 HƯỚNG DẪN
Bài 1:
 A 29 12 5 2 3 16 8 5 
 A (3 2 5)2 3 128 64 5
 A (3 2 5)2 3 (2 2 5)3
 A (3 2 5) (2 2 5)
 A 1 a a2 b2 a a2 b2 a4 a2b2
 B : (với a 0;b 0; a b )
 2 2 2 2 2
 a a b a a b b
 2 2
 2 2 2 2
 a a b a a b a4 a2b2
 B : 2
 a a2 b2 a a2 b2 b
 a2 2a a2 b2 a2 b2 a2 2a a2 b2 a2 b2 a2 (a2 b2 )
 B : do a b
 a2 a2 b2 b2
 4a a2 b2 b2
 B 2 .
 b a (a2 b2 )
 4a
 B 
 a
B=4 nếu a>0
Hoặc B=-4 nếu a<0
Bài 2: (4đ)
 a) 3 x x 3 x
 ĐKXĐ: 0 x 3
 3 x x 3 x
 3 x
 x 
 3 x
 3 x
 x2 
 3 x
 x2 3 x 3 x
 x3 3x2 3 x
 x3 3x2 x 3 0
 2 3 3 
 3 3 3 3 
 x3 3x2. 3.x 3 0
 3 3 3 3 
 3 3
 3 3 
 x 3 
 3 3 3
 3 3 
 x 3 3 
 3 3 
 3
 3 3
 x 3 3 (tmdk)
 3 3
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 a ab2 ab2 ab
 a a a 
 1 b2 b2 1 2b 2
 b bc c ac
CMTT: b ; c 
 1 c2 2 1 a2 2
Cộng vế tương ứng 3 BĐT trên ta có:
 2
 a b c 
 a b c ab bc ca 3 2018
 a b c 3 3 (dpcm)
 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 2 2003
Bài 3:
Có OA là trung trực BC
MI là trung trực của NC
 M là tâm đường tròn ngoại tiếp BNC 
Gọi K là trung điểm của BN
 KM ┴ BN
Mà AB ┴ OB ( do AB là tiếp tuyến của (o))
 KM // AB
Xét ABO
Có KM // AB, áp dụng định lí talet ta có: AM BK 1
 AO BO 3
 AM 1
Vậy 
 AO 3
Bài 4: (4đ) 
 B
 D E
 A F C
 S DE2
Ta chứng minh được: ∆ BDE ∆ BAC (g-g) => BDE 
 2
 SABC AC
 S EF2
 ∆ EFC ∆ BAC (g-g) => EFC 
 2
 SABC AB
Từ đó suy ra:
 SBDE SEFC 2 1 1 
 DE . 
 S AC2 AB2 
 ABC
 S S AB2 AC2 BC2
 hay : ABC ADEF S . S . (1)
 S ADEF 2 2 ADEF 2
 ABC AC .AB 4S ABC
 B
 N
 H
 M P
 A Q C S MN 2
Ta chứng minh được ∆ BMN ∆ BCA => BMN 
 2
 SABC AC
 S MQ2 S PQ2
Chứng minh tương tự: AMQ ; CPQ 
 2 2
 SABC BC SABC AB
 S S S 1 1 1 
 BMN AMQ CPQ MN 2. 
 2 2 2 
 SABC AC AB BC 
 S S 1 1 1 1 1
 hay : ABC MNPQ S . (do )
 MNPQ 2 2 2 2 2
 SABC AH BC AH AB AC
 2 2
 SABC SMNPQ AH BC
 SMNPQ. (2)
 SABC 4.SABC
 S S S BC2 S
Từ (1) và (2) suy ra ABC ADEF ADEF . ADEF
 2 2
 SABC SMNPQ SMNPQ AH BC SMNPQ
  SABC .SMNPQ SABC .SADEF
  SMNPQ SADEF
Bài 5:
 13
 Điều kiện: x 
 3
 a x 19 0 a2 x 19
 b 4x 37 0 b2 4x 37
 4a 2 b2 39
 (2a b)(2a b) 39 
 Do a,b Z;a,b 0;2a b 2a b 
 2
 2a b 1 a 10 10 x 19
 2
 2a b 39 b 19 19 4x 37 x 81
 2 x 3
 2a b 3 a 4 4 x 19 
 2a b 13 b 5 52 4x 37
 Với x=81 ta có
 x 19 = 100 10
 2x 10 = 172 không thỏa mãn
 3x 13 = 256 16
 4x 37 = 361 19 Với x= - 3 ta có
 x 19 = 16 4
 2x 10 = 4 2
 3x 13 = 1 1
 4x 37 = 25 5
Vậy x= - 3 thì x 19 ; 2x 10 ; 3x 13 ; 4x 37 đều là số nguyên
2. Trong 294 người tham gia ta gọi:
a là những người bị giới hạn số lần bắt tay;
b là những người không bị giới hạn số lần bắt tay.
Số người không bị giới hạn số lần bắt tay có tối thiểu là 6 nên b 6 
Số cái bắt tay từ người bị giới hạn số lần bắt tay tối đa là 6a
Vậy thì từ b cũng phải cho 6a cái bắt tay.
Vậy tổng số cái bắt tay là 6a. Vậy a phải lớn nhất nên b bé nhất bằng 6.
a+b=294 nên a=288. Số cái bắt tay nhiều nhất là 6a=6.288=1728 cái.