Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

 ĐỀ THI CHỌN HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (3,0 điểm)
 1
 Cho hai số a,b thỏa điều kiện: a2 b2 1 , a4 b4 .
 2
 Tính giá trị của biểu thức P a2018 b2018 . 
Câu 2: (3,0 điểm)
 Giải phương trình: 5 x 2 3 x 6 .
Câu 3: (2,0 điểm)
 Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có 
 diện tích 4 cm2 . Các điểm A, B,C, D là đỉnh của các hình vuông. 
 Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình vuông thành 
 hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE . 
Câu 4: (4,0 điểm)
 1) Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 
 1 x2 1 y2 2x 1 y2 . 
 2) Các số A; B;C; D; A C; B C; A D; B D là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 
 8. Biết A là số lớn nhất trong các số A, B,C, D . Tìm A . 
Câu 5: (5,0 điểm)
 1) Cho nửa đường tròn O đường kính AB 4cm . Góc 
 D· AB 300 và cung D»B là một phần của đường tròn tâm A . Tính 
 diện tích phần tô đậm. 
 2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với 
 nhau tại I . Đường thẳng qua I vuông góc AD cắt cạnh BC tại 
 N . Đường thẳng qua I vuông góc BC cắt cạnh AD tại M . Chứng minh rằng nếu 
 AB CD 2MN thì ABCD là hình thang.
Câu 6: (3,0 điểm)
 Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là 
 v km/ h . nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 
 giờ. Tuy nhiên sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến 
 B sớm hơn dự định 48 phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố. 
 .HẾT .
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh: . .Số báo 
 danh: . LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1: (3,0 điểm)
 1
 Cho hai số a,b thỏa điều kiện: a2 b2 1 , a4 b4 .
 2
 Tính giá trị của biểu thức P a2018 b2018 . 
 Lời giải
 1 2 1 1 1
 Ta có a4 b4 a2 b2 2a2b2 = a2b2 a2 1 a2 = 
 2 2 4 4
 2 1 1
 4a4 4a2 1 0 2a2 1 0 a2 b2 . 
 2 2
 1009 1009
 2 1009 2 1009 1 1 1
 Do đó P a b 1008 .
 2 2 2
Câu 2: (3,0 điểm)
 Giải phương trình: 5 x 2 3 x 6 .
 Lời giải
 ĐKXĐ: 3 x 5 .Bình phương 2 vế của phương trình ta được: 
 5 x 4 5 x x 3 4 3 x 36 4 5 x x 3 19 3x
 19
 Với ĐK: 3 x .Ta có phương trình 
 3
 16 5 x x 3 19 3x 2 
 25x2 146x 121 0 
 x 1 25x 121 0 
 121
 x 1 hay x ( thỏa mãn điều kiện)
 25
 121
 Vây phương trình có tập nghiệm S 1;  .
 25 
 .
Câu 3: (2,0 điểm)
 Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có 
 diện tích 4 cm2 . Các điểm A, B,C, D là đỉnh của các hình 
 vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình 
 vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn 
 CE . 
 Lời giải
 Mỗi hình vuông có diện tích 4 cm2 nên mỗi hình vuông nhỏ có cạnh là 2 cm .
 1 1
 S S S 4 .9.4 22cm2 
 AOE OBMC 2 9 hinh vuong 2
 1 22.2 11
 OA.OE 22 OE cm ( vì OA 4.2 8cm ).
 2 4 2
 11 7
 Vậy CE OE OC 2 cm .
 2 2 Câu 4: (4,0 điểm)
 1) Cho hai số thực x, y . Chứng minh rằng 1 x2 1 y2 2x 1 y2 . 
 Lời giải
 Ta có 1 x2 1 y2 2x 1 y2 
 x2 y2 x2 y2 1 2x 2xy2 
 x2 2x 1 x2 y2 2xy2 y2 0 
 x 1 2 xy y 2 0 ( bất đẳng thức đúng).
 Vậy 1 x2 1 y2 2x 1 y2 .
 2) Các số A; B;C; D; A C; B C; A D; B D là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 
 8. Biết A là số lớn nhất trong các số A, B,C, D . Tìm A . 
 Lời giải
 Ta có tổng của 8 số:3 A B C D 36 A B C D 12 1 .
 Mà B C D 1 2 3 6 A 6 .
 Hơn nữa 4A A B C D 12 A 3.
 Nếu A 4 B,C, D 1;2;3 B C D 6 . Điều này mâu thuẫn (1). 
 Nếu A 5 B,C, D 1;2;3;4 . (1) B C D 7 . Do đó B,C, D 1;2;4 .
 Do A D và A C bé hơn bằng 8 nênC, D 4 B 4 . Nếu C 1, D 2 thì 
 A C B D 6 là vô lý. Nếu C 2, D 1 thì A D B C 6 là vô lý.
 Do đó A chỉ có thể là 6, suy ra B,C, D 1;2;3;4;5 . Từ (1) ta có B C D 6 . Do đó 
 B,C, D 1;2;3 . Hơn nữa A D, A C 8 nên C, D 3 , suy ra B 3. Với
 C 1, D 2 hay hay C 2, D 1 đều thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy A 6 .
Câu 5: (5,0 điểm)
 1) Cho nửa đường tròn O đường kính AB 4cm . Góc D· AB 30 và cung D»B là một 
 phần của đường tròn tâm A . Tính diện tích phần tô đậm. 
 Lời giải
 2p
 S = S + S = 3 + 
 phaàn traéng DOAE quaït OBE 3
 2 
 S S S 3 
 phaàn traéng OAE quaït OBE 3
 S S S 2S
 phaàn toâ ñaäm nöûa hình troøn quaït ABD phaàn traéng
 4 2 
 2 2 3 
 3 3 
 2 2 3
Câu 6: (3,0 điểm)
 Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là 
 v km / h . Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến 
 B sớm hơn dự định 48 phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố. 
 Lời giải
 48 4
Đổi đơn vị : 48 phút = = (giờ). 
 60 5
Gọi s (km) là quãng đường giữa hai thành phố A và B (s > 0) .Nếu vận tốc ô tô đó 
tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có phương trình: 
 s s s
 - = 1 Û v = (1) .
 v v + 20% 6
Sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 
 120 s- 120 s 4
48 phút nên ta có phương trình: - = - (2)
 s v + 25%v v 5
 ïì s
 ï v =
 ï 6 ïì v = 60
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: íï Û íï 
 ï 120 s- 120 s 4 ï s = 360
 ï - = - îï
 îï 2 v + 25%v v 5
 Vậy quãng đường giữa hai thành phố A và B là 360 km .
 ..HẾT