Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọ học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS - Năm học 2020-2021 - Sở GD & ĐT Hải Dương (có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 HẢI DƯƠNG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 27/1/2021 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776. 
Câu 1(2,0 điểm). 
a.Rút gọn biểu thức 
2 2
2 2 2 2
. ; 0
x y x y x y
A x y
x y x y x y x y x y
b.Cho a,b,c là các số thực khác 0 
thỏa 2020 2020( ) 0a b c ab bc ca abc .Tính 
2021 2021 2021
1 1 1
P
a b c
Câu 2(2,0 điểm). a.Giải phương trình 
2
3 17 27 1
4 9 2 2 1
x x
x x
b.Giải hệ phương trình 
2
2
1 9
1
4
4
y
x xy x
y
x xy
x
Câu 3(3,0 điểm). 
a.Tìm x,y nguyên thỏa 2 22 3 3 2 3 0x y xy x y 
b.Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: (a – b)(b – c)(c – a) = a + b + c. Chứng minh 
a + b + c chia hết cho 27. 
Câu 4(1,0 điểm). 
1.Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Qua A lần lượt 
kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O;R) (B, C là các tiếp điểm). Lấy điểm D 
thuộc đường tròn (O;R) sao cho BD song song với AO, đường thẳng AD cắt đường 
tròn (O;R) tại điểm thứ hai là E. Gọi M là trung điểm của AC. 
a. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). 
b. Từ D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R), tiếp tuyến này cắt ME tại T. Gọi 
1 2 3
; ;r r r 
lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của OME, OTE, OMT. Chứng minh khi 
A thay đổi thì 
1 2 3
r r r luôn không đổi. 
2.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.Chứng minh 2 2 2sin sin sin 2A B C 
Câu 5(2,0 điểm). Cho x,y,z là các số thực dương thỏa 2 5 6 18xy yz zx xyz .Tìm 
min của 
16 25 81
2 4 4
xy yz zx
P
y x z y x z
LỜI GIẢI 
Giả thiết tương đương với: 
2 5 6
18
z x y
.Đặt (
1 1 1
; ;
x y z
)=(a,b,c). Khi đó 5a + 6b + 2c = 18. 
Ta có 
16 25 81 16 25 81
2 4 4 2 4 4
xy yz zx
P
y x z y x z a b b c c a
2(4 5 9) 324
18
2 4 4 18a b b c c a
. Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 1 tức x = 
0,5; y = 1; z = 1. 
Giả sử a,b,c có số dư khác nhau khi chia hết cho 3, khi đóa+b+c≡0(mod3) 
và (a−b)(b−c)(c−a)≡0(mod3). Do đó trong 3 số a−b,b−c,c−a có ít nhất 1 số chia hết 
cho 3, không mất tính tổng quát, giả sử đó là số a−b. Khi đó a≡b(mod3)(vô lí). 
Vậy trong 3 số phải có ít nhất hai số có số dư giống nhau, vì thế ta luôn 
có (a−b)(b−c)(c−a)≡0(mod3), suy ra a+b+c chia hết cho 3, suy ra a≡b≡c(mod3). Ta 
có ngay đpcm